ε-δ論法について

Question

大学１年です。題名通りですが微分積分学に出てくるこの論法が全く理解できません。教授に聞いても教科書に書いてあることをそのまま説明するしかしないので、その教科書を読んでも理解できないのですから全く意味が無いです。いきなり分けのわからない変数が２つも出てきますし...
どなたか教科書に出てるような抽象的なものよりも理解しやすい説明がありましたら（独自の説明で構いません！）教えてください！お願いします。

また理解しても問題が解けなければならないので、例題として１問だけ載せてみます。説明の際に利用できるようでしたら是非使ってください！

問
a_n=α+1/n^2　とする。(α>0)
　
lim(n→∞)a_n=α　であることをε-δ論法を用いて証明せよ。

kalgebra · Accepted Answer

εδ論法では、どんな『ε』よりも『a_nとαの差』の方が小さいよ！ということを証明します。

仮に『ε』が0.01なら、『a_nとαの差』はそれよりも小さいわけだから、ほとんどa_n＝αということです。
『ε』が0.000001なら、『a_nとαの差』はそれよりも小さいわけだから、ミクロの世界で見ても、a_n＝αだよと言えるわけです。

この『ε』をどれだけでも小さくできるのだから、a_n＝αが証明できるという、素晴らしい論法がεδ論法です。


どんな『ε』を持ってきても、ある『δ』が存在して、数列｛a_n｝のδ項目以降は『ε』よりも『a_nとαの差』が小さいということを頑張って証明してみてください。


最後に、証明は、数学は、自分で解かないと力にはなりません。高校数学の良さもありますが、より厳密で美しい数学をやっていくには、εδ論法の理解は必要条件です。がんばってみてください。
共立出版の『数学 ワンポイント 双書 イプシロン－デルタ』田島一郎著が、分かりやすいと思います。では。

betagamma · Answer

大学４年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学１年の時は分かれていました。
３年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん
微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析
とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて（そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので）、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。
線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは？

とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで４年にあがれるかどうかは別問題ですw

ところで、この問題で、どうしてεーδ論法が必要になるのかを、そもそも考えてみましょう。
a_nは、α＋1/n^2で、αよりも、1/n^2多いわけですから、
「どんなnを持ってきても、a_n=αには絶対にならない」
わけです。
これが例えば、
b_n＝β＋(k-n)
という式であれば、n=kの時に、b_n＝βになりますよね？

ところが、nを大きくしていけばしていくほど、1/n^2の値は小さくなるので、a_nはαに「近く」なります。そこで、
「b_nと違って、どこかにa_n＝αとなるようなnが存在するわけじゃない。でも、nを大きくしていくとa_nはαにとっても近くなる」
ということを、短く厳密に表現する方法があると便利だなぁ、ということになります。それがεーδ論法なのです。

springside · Answer

ε-δ論法ですが、小生が以前回答したものがありますので、見てみてください。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=446638
のNo.1の回答です。
「εを操るE君とδを操るD君の戦い」といった感じで説明してあります。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=446638

DreaMMaster · Answer

ε-δ論法について説明している本は腐るほど出ていますから、大学図書館で数学の棚を彷徨って微積や解析の初歩と書いてある本を片っ端から見ればいいと思います。
　遠山啓先生の「数学入門」（岩波新書）の下巻の説明が個人的には一番好きですが。
　ちなみに、大学の数学は受験までの数学と全然違うもので論理を重視します。ですから、高校までの感覚でε-δ論法を捉えようとしても無理があります。

ε-δ論法について

εδ論法では、どんな『ε』よりも『a_nとαの差』の方が小さいよ！ということを証明します。

大学４年です。

ε-δ論法ですが、小生が以前回答したものがありますので、見てみてください。

ε-δ論法について説明している本は腐るほど出ていますから、大学図書館で数学の棚を彷徨って微積や解析の初歩と書いてある本を片っ端から見ればいいと思います。

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