整式P(x)をx^2+x+1で割った余りが2x-1であるとき、整式xp(x)をx^2+x+1で割った

整式P(x)をx^2+x+1で割った余りが2x-1であるとき、整式xp(x)をx^2+x+1で割った余りを求めよ


解答

P(x) = Q(x)(x^2+x+1)+2x-1 ①

①にＸを掛けて

xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)②

②より、xP(x)を(x^2+x+1)で割った余りは、x(2x-1)を(x^2+x+1)で割った余りに等しい　＊1

x(2x-1) = 2 (x^2+x+1) -3x-2 ＊2

よって求める余りは-3x-2

＊1
なぜ等しくなるのでしょうか？


＊2
ここは、何の計算をしているのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/01/13 14:04

>>＊1

>>なぜ等しくなるのでしょうか？

Q(x)(x^2+x+1)xは(x^2+x+1)で割り切れて余りは出ない。
余りがでるのはx(2x-1)を(x^2+x+1)で割ったほうに決まってる。

7=2×3＋１：2で割った余りは１。
2×3は2で割り切れるから、1の方で余りが出る。

>>＊2
>>ここは、何の計算をしているのでしょうか？
余りの計算

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/12 15:19

P(x) = Q(x)(x^2+x+1)+2x-1 ①

①にxを掛けて

xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+2x^2-x
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+2(x^2+x+1)-3x-2
xP(x)={Q(x)x+2}(x^2+x+1)-3x-2

だから

xP(x)を(x^2+x+1)で割った商は{Q(x)x+2}
余りは　-3x-2

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/01/12 13:10

具体例から言うと

2×5+7(＝17)…③を5で割った余りは、
7を5で割った余りに等しいです

なぜならば、
5で割る割り算は、
6÷5＝1余り1
7÷5＝1余り2
…
11÷5＝2余り1
12÷5＝2余り2
…
というように、割られる数が5(＝割る数)増減するたびに余りが一致するので
③から5の倍数である2×5を引き算した
　2×5+7
−)2×5
───────
　　　7

7も③と余りが一致するためです

この事は、割る数が5だけに限定されません
ご質問の
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)でも同じように考えて
xP(x)は、割る数＝(x^2+x+1)だけ増減する毎に
余りが一致するはずですから
xPx)から(x^2+x+1)のQ(x)倍を差し引いた
x(2x-1)の余りはxP(x)の余りと一致すると言えます

次に
x(2x-1) = 2 (x^2+x+1) -3x-2 ＊2
は、実際にx(2x-1) を(x^2+x+1) で割り算した時の余りを調べに行っています
公式は
割られる数＝商×割る数+余り
なので、これに
割られる数＝x(2x-1)
割る数＝ (x^2+x+1) を当てはめたときに
商の部分が2であり、肝心な余りの部分は−3x−2であることをしめしています
(商＝q、余り＝ax+b(二次式で割るときの余りは一次式以下)とおいて、恒等式の左辺と右辺の係数を比較してq、a、bを求めるのもよいし、x(2x-1) ÷ (x^2+x+1)の筆算を行って商と余りを求めるのも良いです )

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/12 12:38

＊1

なぜ等しくなるのでしょうか？

xP(x) = Q(x)(x^2+x+1) + 2(x^2+x+1) - 3x - 2
　　= Q(x){ (x^2+x+1) + 2 } + (-3x - 2)
だから。

＊2
ここは、何の計算をしているのでしょうか？

x(2x-1) を (x^2+x+1) で割った余りの計算をしている。