写真についてですが、|xsin(sx)| ≦ |-x|より ∫|xsin(sx)|ds ≦ ∫|-x

写真についてですが、|xsin(sx)| ≦ |-x|より
∫|xsin(sx)|ds ≦ ∫|-x|ds (積分範囲はa0≦x≦a)
が成り立ちますが、なぜ青線部の不等式、つまり | ∫xsin(sx)ds | ≦| ∫-xds | が成り立つのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 皆さまありがとうございました。
  みなさんの回答を元に頭を冷やしたら理解出来ました。

    補足日時：2025/01/21 02:26

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/20 19:28

a0≦a のとき

｜∫[a0,a] sin(sx) ds｜ ≦ ∫[a0,a]｜sin(sx)｜ds
だけれども

a0>a のとき
∫[a0,a]｜sin(sx)｜ds=-∫[a,a0]｜sin(sx)｜ds≦0
だから
｜∫[a0,a] sin(sx) ds｜ ≦ ∫[a0,a]｜sin(sx)｜dsは成り立たない

a0≦a のとき
｜∫[a0,a] sin(sx) ds｜ ≦ ∫[a0,a]｜sin(sx)｜ds≦a-a0
a0>a のとき
｜∫[a0,a] sin(sx) ds｜ ≦∫[a,a0]｜sin(sx)｜ds≦a0-a

だから

｜∫[a0,a] sin(sx) ds｜ ≦|a-a0|

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/20 18:53

画像の話の要点は、上の cos(a x) - cos(a0 x) = ∫[a0,a]{ -x sin(sx) }ds

のほうなのですけど、そこは解ったのですね？
質問は青矢印の理由のようですが、なぜそんな簡単な部分で引っかかるかな？

cos(a x) - cos(a0 x) = ∫[a0,a]{ -x sin(sx) }ds が成り立っているなら、
両辺の絶対値をとって ｜cos(a x) - cos(a0 x)｜ = ｜∫[a0,a]{ -x sin(sx) }ds｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= ｜(-x)∫[a0,a] sin(sx) ds｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= ｜x｜・｜∫[a0,a] sin(sx) ds｜.

また、 ｜∫[a0,a] sin(sx) ds｜ ≦ ∫[a0,a]｜sin(sx)｜ds　です。
任意の被積分関数に対して ｜∫f(s)ds｜ ≦ ∫｜f(s)｜ds は成り立ちますからね。

よって ｜cos(a x) - cos(a0 x)｜ ≦ ｜x｜・∫[a0,a]｜sin(sx)｜ds ですが、

0 ≦ ｜sin(sx)｜ ≦ 1 が成りたつので、 0 ≦ ∫[a0,a]｜sin(sx)｜ds ≦ ｜a - a0｜.
以上より、｜cos(a x) - cos(a0 x)｜ ≦ ｜x｜・｜a - a0｜ です。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/20 17:08

画像の通り

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/20 04:14

画像の通り

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/19 21:01

∫|-x|ds|≧| ∫-xds |

はその通りなんだけど, この不等式を何がなんでも絶対に使わなければならないという理由がなければ, 考える必要はないと思うんだ. 逆にいうと, あなたがこの不等式を出してきたってことは, あなたは「この不等式を使わないとどうにもならない」と認識してるってことだよね.

そのように認識しているのはどういう理由によるものなのだろうか.

この回答へのお礼

|cos(ax)-cos(a0x)|=|∫-xsin(sx)ds|となっているからです。

お礼日時：2025/01/20 03:26

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/19 20:57

画像の通り

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
回答者様の写真についてですが、下から2行目から1番下への変形がわからないです。

お礼日時：2025/01/20 03:22

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/19 18:08

| ∫xsin(sx)ds | ≦ ∫|xsin(sx)|ds

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。しかし
同様に、 ∫|-x|ds|≧| ∫-xds |となることから、青線部の式は示せないのではないのでしょうか？

お礼日時：2025/01/19 18:18