
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
y^2+z^2=u^2 (u>0)とおくと
(x^2+y^2+z^2)^{1/2}=(x^2+u^2)^{1/2}
(1)のyをuに置き換えると
(x^2+u^2)^{1/2}>(x^3+u^3)^{1/3}
∴
(x^2+y^2+z^2)^{1/2}>(x^3+u^3)^{1/3}…②
(1)のxをzに置き換えると
(y^2+z^2)^{1/2}>(y^3+z^3)^{1/3}
↓y^2+z^2=u^2だから
u>(y^3+z^3)^{1/3}
↓両辺を3乗すると
u^3>y^3+z^3
↓両辺にx^3を加えると
x^3+u^3>x^3+y^3+z^3
↓両辺を1/3乗すると
(x^3+u^3)^{1/3}>(x^3+y^3+z^3)^{1/3}
↓これと②から
∴
(x^2+y^2+z^2)^{1/2}>(x^3+y^3+z^3)^{1/3}

No.2
- 回答日時:
写真がよく見えないので想像で。
(x²+y²)¹/²>(x³+y³)¹/³・・・①
が成り立つ。
ここで
y → (y²+z²)¹/²
とすれば(①でyをuとして、u=(y²+z²)¹/²としている)
①は
(x²+y²+z²)¹/²>(x³+(y²+z²)³/²)¹/³・・・・②
ここで、①の両辺を3乗して、x,y → y,z とすれば
(y²+z²)³/²>(x³+y³)³/³=x³+y³
なので②は
(x²+y²+z²)¹/²>(x³+y³+z³)¹/³
となる。
No.1
- 回答日時:
x^3 = a, y^3 = b, z^3 = c と置くと、問題の不等式は
(a + b + c)^(2/3) < a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) と同値。
f(t) = t^(2/3) と置くと t > 0 に対し f”(t) < 0 であることから
イェンセンの不等式から
{ (a + b + c)/3 }^(2/3) ≦ { a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) }/3
が成り立つが、この式を変形すると
(a + b + c)^(2/3) ≦ { a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) }/3^(1/3)
となるから、
a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) > 0, 3^(1/3) > 1 より
(a + b + c)^(2/3) ≦ { a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) } / 3^(1/3)
< a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3).
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