数学 不等式の問題です。 ⑴を元に (x^3 + y^3 +z^3)^1/3 < (x^2 + y^

数学 不等式の問題です。

⑴を元に

(x^3 + y^3 +z^3)^1/3 < (x^2 + y^2 +z^2)^1/2の不等式を示せ。
ただしx>0,y>0,z>0とする。

を示したいのですが、解答で行なっている2文字から3文字への拡張というものがよくわかりません。教えてください

質問者からの補足コメント

• ⑵の解き方を知りたいです

    補足日時：2025/01/27 21:53

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/28 16:27

y^2+z^2=u^2 (u>0)とおくと

(x^2+y^2+z^2)^{1/2}=(x^2+u^2)^{1/2}

(1)のyをuに置き換えると
(x^2+u^2)^{1/2}>(x^3+u^3)^{1/3}
∴
(x^2+y^2+z^2)^{1/2}>(x^3+u^3)^{1/3}…②

(1)のxをzに置き換えると
(y^2+z^2)^{1/2}>(y^3+z^3)^{1/3}
↓y^2+z^2=u^2だから
u>(y^3+z^3)^{1/3}
↓両辺を3乗すると
u^3>y^3+z^3
↓両辺にx^3を加えると
x^3+u^3>x^3+y^3+z^3
↓両辺を1/3乗すると
(x^3+u^3)^{1/3}>(x^3+y^3+z^3)^{1/3}
↓これと②から
∴
(x^2+y^2+z^2)^{1/2}>(x^3+y^3+z^3)^{1/3}

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/28 05:48

訂正

ここで、①の両辺を3乗して、x,y → y,z とすれば
　(y²+z²)³/²>(y³+z³)³/³=y³+z³

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/28 05:44

写真がよく見えないので想像で。

　(x²+y²)¹/²>(x³+y³)¹/³・・・①
が成り立つ。

ここで
y → (y²+z²)¹/²
とすれば(①でyをuとして、u=(y²+z²)¹/²としている)
①は
　(x²+y²+z²)¹/²>(x³+(y²+z²)³/²)¹/³・・・・②
ここで、①の両辺を3乗して、x,y → y,z とすれば
　(y²+z²)³/²>(x³+y³)³/³=x³+y³
なので②は
　(x²+y²+z²)¹/²>(x³+y³+z³)¹/³
となる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/27 22:20

x^3 = a, y^3 = b, z^3 = c と置くと、問題の不等式は

(a + b + c)^(2/3) < a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) と同値。

f(t) = t^(2/3) と置くと t > 0 に対し f”(t) < 0 であることから
イェンセンの不等式から
{ (a + b + c)/3 }^(2/3) ≦ { a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) }/3
が成り立つが、この式を変形すると
(a + b + c)^(2/3) ≦ { a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) }/3^(１/3)
となるから、
a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) > 0, 3^(1/3) > 1 より
(a + b + c)^(2/3) ≦ { a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) } / 3^(1/3)
　　　　　　　　＜ a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3).