ヘロンの公式

ヘロンの公式を証明してくだされ

質問者からの補足コメント

• わたしはこうしました！
  
  
  ａ＾２－ｂ１＾２＝ｃ＾２－ｂ２＾２　　－－（１）
  
  ｂ１＋ｂ２＝ｂ　　　　　　　　　　　－－（２）
  
  （１）から、
  
  ａ＾２－ｃ＾２＝ｂ１＾２－ｂ２＾２＝（ｂ１＋ｂ２）（ｂ１－ｂ２）＝ｂ（ｂ１－ｂ２）
  
  ｂ１－ｂ２＝（ａ＾２－ｃ＾２）／ｂ　　　　　　　－－（３）
  
  （２）（３）から、
  
  ｂ１＝（ｂ＋（ａ＾２－ｃ＾２）／ｂ）／２　　　　　　
  
  
  
  ｈ＝√（ａ＾２－ｂ１＾２）＝√（ａ＾２－（（ｂ＋（ａ＾２－ｃ＾２）／ｂ）／２）＾２）　　　　　　
  
  三角形の面積Ｓは、
  
  
  
  Ｓ＝ｂ＊ｈ／２
  
  ＝√（（ａ＾２＊ｂ＾２－（（ｂ＾２＋（ａ＾２－ｃ＾２））／２）＾２）／４）　　
  
  
  
  となる。

  
    補足日時：2025/01/31 18:46

• これでいいっすね！
  ブログ上ののです！
  
  これでいいっすね！
  ブログ上のです！

  
  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/02/03 19:54

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/31 19:37

有名な証明が何通りもあるけど、

私は内接円を使うやつが好きだな。

△ABC の三辺を BC=a, CA=b, AB=c と置く。
また、内心を I 、
点I から辺 BC, CA, AB へ降ろした垂線の足をそれぞれ点P,Q,R とし、
内接円半径を r と置く。
(以下、自分で図を書いてみてから読んでね。)

内心が各角の二等分線上にあることから
△IAR ≡ △IAQ, △IBR ≡ △IBP, △ICP ≡ △ICQ であり、
AR = AQ, BP = BR, CQ = CP が成り立つ。
これらの等式は、AR, BP, CQ に着目すると
AR = c - BP, BP = a - CQ, CQ = b - AR と書ける。
連立一次方程式を解けば、
s = (a+b+c)/2, AR = s - a, BP = s - b, CQ = s - c と書ける。

△IAR, △IBR, △ICP に注目すると
∠IAR = r/(s-a), ∠IBR = r/(s-b), ∠ICP = r/(s-c) であるが、
△ABC の内角の和 2∠IAR + 2∠IBR + 2∠ICP = π から
∠IAR + ∠IBR + ∠ICP = π/2 となるので、
1/tan∠IAR + 1/tan∠IBR + 1/tan∠ICP = 1/{ tan∠IAR tan∠IBR tan∠ICP }
が成立して 　…[1]
(s-a)/r + (s-b)/r + (s-c)/r = (s-a)(s-b)(s-c)/r^3.
この式 r について解くと
r = √{ (s-a)(s-b)(s-c)/s } となって、内接円半径が求まる。

三角形の面積は、
△ABC = △IAB + △IBC + △ICA
= (1/2)cr + (1/2)ar + (1/2)br
= (1/2)sr
= (1/2)√{ s(s-a)(s-b)(s-c) }
となる。

この回答へのお礼

素晴らしい！
ブログに保存しました！

お礼日時：2025/01/31 21:11

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/03 19:15

ああ、まだミスプリがあった。

重ね重ね恐縮。

△ABC = △IAB + △IBC + △ICA
= (1/2)cr + (1/2)ar + (1/2)br
= (1/2)(2s)r
= √{ s(s-a)(s-b)(s-c) }
となる。

この回答へのお礼

了解！


三角形の面積は、
△ABC = △IAB + △IBC + △ICA
= (1/2)cr + (1/2)ar + (1/2)br
= (1/2)sr
= (1/2)√{ s(s-a)(s-b)(s-c) }
となる。

ーー＞

三角形の面積は、
△ABC = △IAB + △IBC + △ICA
= (1/2)cr + (1/2)ar + (1/2)br
= (1/2)(2s)r
= √{ s(s-a)(s-b)(s-c) }
となる。

修正しました！

お礼日時：2025/02/03 19:41

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/02 21:03

画像の通り

この回答へのお礼

了解！

お礼日時：2025/02/03 20:24

No.8 回答者： takoハ 回答日時： 2025/02/02 18:25

あとは計算力だけ?

三平方の定理から
https://www.allisone.co.jp/html/Notes/Mathematic …
三角関数を利用
https://www.allisone.co.jp/html/Notes/Mathematic …

https://manabitimes.jp/math/579

tan を用いた方法
https://manabitimes.jp/math/578#2

(etc)

この回答へのお礼

１から３までは同じでは？

４番目のNO.3の方のがおもろいですね・・・

お礼日時：2025/02/02 21:13

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/01 04:08

No.3 のミスプリ訂正：

△IAR, △IBR, △ICP に注目すると
tan∠IAR = r/(s-a), tan∠IBR = r/(s-b), tan∠ICP = r/(s-c) であるが、

＞ わたしはこうしました！

イイネ。
あと、冒頭に「最長辺を b とする」と書いとけば完璧。
それの後追いの No.5 も同様。

この回答へのお礼

了解！！！
ブログ訂正しました。

お礼日時：2025/02/01 09:39

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2025/01/31 20:59

三平方の定理を複数回使えば、中学レベルで 求められますね。

正弦定理・余弦定理でも良いですが、基本は 三平方の定理です。

この回答へのお礼

＞三平方の定理を複数回使えば
ーー＞
どうするんですか？

お礼日時：2025/01/31 21:31

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/31 19:58

△ABCの面積

この回答へのお礼

アザッス！
これですかね・・・

お礼日時：2025/01/31 20:55

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/31 19:56

[1] の証明を添えとかないとね。

α + β + γ = π/2 のとき
1/tanα + 1/tanβ + 1/tanγ = 1/(tanα tanβ tanγ) を示す。

tan(α+β) の加法定理を使って、
1/tanα + 1/tanβ = (tanα + tanβ)/(tanα tanβ)
　　　　　　　　　= tan(α+β)・(1 - tanα tanβ)/(tanα tanβ)
　　　　　　　　　= tan(π/2 - γ)・{ 1/(tanα tanβ) - 1 }
　　　　　　　　　= (1/tanγ)・{ 1/(tanα tanβ) - 1 }
　　　　　　　　　= 1/(tanα tanβ tanγ) - 1/tanγ.

この回答へのお礼

アザッス！

お礼日時：2025/01/31 21:07

No.2 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2025/01/31 18:18

んじゃ余弦定理使うやつで。

、
三角形の面積をSとし、3辺をそれぞれa,b,cとする。

sinの面積公式より、S=1/2absinC
三角比の相互関係より、
S=1/2ab√1-cos^2C
余弦定理より、
S=1/2ab√1-(a^2+b^2-c^2/2ab)^2

変形しまくって(以下省略。さすがにめんどくさすぎた。)
√s(s-a)(s-b)(s-c)

この回答へのお礼

なるへそ・・・
私のは補足に書きました・・・

お礼日時：2025/01/31 19:16

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/31 18:12

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD …

この回答へのお礼

なるへそ・・・
私のは補足に書きました・・・

お礼日時：2025/01/31 19:16