バッハと数学

Question

バッハの最高傑作である最後の作品です。

数学的なものを感じますか？
わたしは、バッハには数学を感じます。

■質問
あなたはバッハをどのように整理していますか？

■
BACHのフーガの技法
https://youtu.be/9wFBn9BE_Ls?t=4779
★★上ではなく、必ず、ここから聞いてください！
BACHのフーガの技法から未完のフーガ
https://youtu.be/9wFBn9BE_Ls?t=4779

yhr2 · Accepted Answer

No.5 です。

＞楽譜は全くチンプンカンプンです・・・

だとしたら、何をもって「数学的」なのですか？
「感じる」という表現は数学的ではありませんね。
「整理する」とは？

yhr2 · Answer

No.4 です。追加で。

もし楽譜が読めるのであれば、ぜひ
バッハ作曲「音楽の捧げもの」BWV1079
の楽譜をご覧になってください。

たとえば下記など
↓
https://ks15.imslp.org/files/imglnks/usimg/5/55/IMSLP10042-BWV1079-b.pdf

p-8 から「謎のフーガ」の楽譜が載っています。
左の調号を見れば、複数書いてあったり、ひっくり返ったりしています。
これの解題が p-41 以降に載っています（これは出版社が付けたものでしょう）。
つまり、同じ楽譜を「調号」を変えて読んだり、上下をさかさまにしたり、後ろから弾いたりすると、多声部音楽になきるという趣向です。
「楽譜遊び」なのですね。
数学的には「合同」「相似」だったり、平行移動、上下反転、前後反転、拡大・縮小といった操作が行われています。

私は、教科書的で聴くにはちょっと無味乾燥な「フーガの技法」よりも、聴いて楽しいこの「音楽の捧げもの」の方が好きですし、「数学的」であることを直感するにも好例かなと思います。
ときのプロイセン国王フリードリヒ大王の御前で、与えられた主題に基づいて即興演奏した最初の「3声のリチェルカーレ」に、同じ主題に基づくいろいろなフーガやトリオ・ソナタを追加して大王に献呈したものですね。
上に挙げた楽譜を見ながら聞くと面白いですよ。
↓
https://www.youtube.com/watch?v=hL90UpbOsrA&list=PL22C8F6255492A26F

下記のライブ演奏は、ここからは直接は再生できないようなので、URL先からご覧ください。こちらには各曲の頭出しもできるようです。
https://www.youtube.com/watch?v=AzT_elDRLJM&t=747s

yhr2 · Answer

No.3 です。「お礼」について。

＞■音階についてのブログ集

なるほど、その辺についてはお詳しいのですね。

音楽については、特にドイツ・ロマン派以降では「精神」とか「愛」とか「感情」「情念」とか「神」とか、「言葉では表現できない至高の美」のようなものが先行して、即物的な「音」は裏方に回ってしまったような気がします。
バッハの時代には、そんなものはなかったので、音は「音としての存在」として直接認知され、その「組合せ」が徹底的に追究されたのでしょうね。
おっしゃるとおり、「数学的変形」による音の組合せを楽しんだのでしょう。
バッハの「平均律クラヴィーア曲集」の第１巻最終曲（第24番）ロ短調 BWV869 のフーガ主題に、バッハは「オクターブのすべての半音 12個」を組み入れています。（下記の 5'00" ～の3小節）
↓
https://www.youtube.com/watch?v=g0MaGu6CiPA

「平均律」（正確には「程よく調律された」）曲集の最後を飾るにあたり、調性によらず12半音を使った主題が作れることを示したかったのでしょうね。
それがシェーンベルクの「十二音技法」の出発点になっているわけです。
（シェーンベルクが「私は保守主義者だ」といっている所以でしょう）

yhr2 · Answer

バッハの絶筆となった未完の「フーガの技法」の最後の部分、お示しの音源だと 1° 27' 05" あたりからの「B - A - C - H」（アメリカ式の音名だと「B♭ - A - C - B」、日本式だと「変ロ - イ - ハ - ロ」）という「バッハの音名による主題」が登場するところですか？

バッハの息子で作曲家であったカール・フィリップ・エマヌエル・バッハは、楽譜を出版したときこの未完の部分に「作曲者は、"BACH"の名に基く新たな主題をこのフーガに挿入したところで死に至った」と記していますね。

同じようなことを、作曲家のシューマンやショスタコーヴィチもしていますね。
シューマンは、「アベッグ変奏曲」という、伯爵令嬢アベッグ Abegg の名前からとった「A - B(B♭) - E - G - G」という主題に基づく変奏曲を作っています。
ショスタコーヴィチは、「ドミトリー・ショスタコーヴィチ」のロシア文字のイニシャルをドイツ語に置き換えた「D. Sch.」を「D - Es（発音が「S」と同じ、アメリカ式だと E♭）- C - H（アメリカ式だと B）」を自分の化身として交響曲第10番や様々な曲に登場させていますし、友人に献呈した弦楽四重奏曲などにはその友人の名前・イニシャルを音にした主題を使うなどしています。

それは、「数学」というよりは一種の「ダジャレ」ですね。

「数学」ということでは、そもそも音楽で使っている「音程」「音律」が数学的なのです。

1オクターブとは「振動数が2倍」（弦の長さが 1/2）になる音程です。
その間にある「12の半音」の音程は、現在ピアノの調律に使われている「12平均律」では振動数比が
　2^(1/12) 倍
になるようオクターブを分割しています。
（オクターブを 12に分割するのはヨーロッパの音律であり、世界各地にはそれぞれ異なる音律が存在しています。日本の音律は「五音音律」いわゆる「ヨナ抜き」ですね）

ところが、バッハの時代以前の鍵盤楽器の調律では、そんな「物理的な均等割り」にはできませんから、「弦の長さを整数比に分割した振動数」を使っていました。
最も古いものが、古代ギリシャのピタゴラスによる「ピタゴラス音律」です。
弦の長さを「2/3 倍」（振動数比 3/2、耳に聞こえる音程では「完全五度」）にしてできる音程比を基準にした音律です。（高い音は振動数を 1/2, 1/4 にしてオクターブ下げて並べる）
ところが、現在の平均律では「五度」（振動数比で 2^(7/12)）を12回繰り返すと元の音に戻るのですが、ピタゴラス音律ではそうなりません。

平均律：[2^(7/12)]^12 = 2^7 = 128　つまり7オクターブ上の同じ音
ピタゴラス音律：(3/2)^12 = 129.7463･･･

この「五度圏図」がそれを示します。
↓
https://music-specialty.com/musicology/pythagoras.html

この微妙な振動数比の差（「ピタゴラスのコンマ」と呼ぶ）が、後の世の音楽家・調律師を苦しめることになります。

一方「和声」が美しく響くのは「振動数比が整数」のときです。古代の人は、経験的に「弦の長さの比が整数倍のとき」と考えたでしょう。
たとえば、「ドミソ」が美しく響くのは、振動数が「4:5:6」のときです。つまり、ドの振動数に対して、ミの振動数が
　5/4 = 1.25 倍
のとき。
ところが、平均律ではこれが
　2^(4/12) = 2^(1/3) = 1.25992･･･
なのです。
「ド」を「イ長調」の主音 A =440 Hz とすれば、
・美しく響く「ミ = C♯」は 550Hz
・平均律の C♯ は 554.4Hz
です。４ Hz の違いとは、１秒間に４回のうなりを生じる、かなり異なる音程です。

さあ、そういった音程・音律の違いを、「振動数測定器」を持っていなかったバッハの時代の調律師は、どのように対処したのでしょうか？
バッハの作曲した「平均率クラヴィーア曲集」とは、どんな音律を前提にしていたのでしょうか？
バッハが使ったのは、下記のサイトの「キルンベルガー」あるいは「ヴェルクマイスター」の音律だと考えられています。

こんなサイトをご覧になって、じっくりと取り組んでみてください。
↓
https://gthmhk.gitlab.io/gthmhk/agordo.html

都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 · Answer

カテ違い。

私はバッハの音楽に感動したことはほとんどない。フーガの技法も陰気臭いテーマが苦手である。音楽の捧げものもそう。平均律もほとんどの曲が退屈の極みだが、ララバイミュージックとしてはここ数年重宝している。退屈さが眠さを誘うのだ。

ありものがたり · Answer

高校の数IIIの先生が、小川先生でした。

バッハと数学

No.5 です。

No.4 です。

No.3 です。

カテ違い。

高校の数IIIの先生が、小川先生でした。

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