数学 三角関数の近似 高校数学数Ⅲの近似で三角関数を扱う時「°をラジアンに変換」することは分かるので

数学 三角関数の近似
高校数学数Ⅲの近似で三角関数を扱う時「°をラジアンに変換」することは分かるのですがそれはなぜでしょうか。「°」は次元があってラジアンには次元がないからということですか？
ここでいう近似式は
h≒0のとき
f(a+h)≒f(a)+f'(a)h
などのことです。

No.10 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2025/02/13 21:23

図形に戻って考えます。

半径１の扇形の中心角をΘラジアンとして、Θが小さい時に弧の長さと弧の両端を結ぶ弦の長さがほぼ等しくなるという近似式は
弧の長さ=Θ、弦の長さ=2sin(Θ/2)
だから
Θ≒2sin(Θ/2)
Θ/2≒sin(Θ/2)
Θを度で表すと
弧の長さ=2π×Θ/360°
弦の長さ=2sin(2π×Θ/360/2)
πΘ/360°≒sin(πΘ/360°)

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/13 09:28

sinx, cosx はべき級数展開すると

sinx = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5+ ・・・
cosx = 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4+・・・

度で入力する三角関数に sind, cosd と名称を付けるとすると
べき級数展開で近似すると
sindx = sin((π/180)x)
= (π/180)x - (1/3!)(π/180)^3・x^3 + (1/5!)(π/180)^5・x^5+・・・
#cosdは略

とバチクソ汚くなる。オイラーの定理とか複素数とか
度でやると悪夢。オイラーの感動が消し飛ぶ。

数学でも物理でも角度はラジアンで扱う方がとても楽。

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/02/12 20:40

単純に

ラジアンで書いた方が数学的に簡単になる
というだけ. 逆にいえば, それ以上の意味はないので, 全部「度」で通してもいいしなんならグラードで暴走してもいい.

指数や対数で e を使うのと, 本質的には同じこと.

というか, この辺の話は実際に手を動かしてみればわかると思うのだ.

No.7 回答者： metabolian 回答日時： 2025/02/12 18:52

一般的な角度（°）の方は、

「人間がキリのいい数字で扱いやすい
ように、1周を360等分しただけ
（で数学的に特に意味はない。）」
と聞いたことがあります。
対して、ラジアンは、「半径 1の円の円周から切り取った孤の長さ」で表現され、
角度を実数で表せます。
なぜ、“半径1”なのかというと、微分する時に「(sinθ)’ = cosθ」などのようにシンプルになるかららしいです。（Wikipediaより）

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2025/02/12 17:24

ラジアンの場合は数値がそのまま角度になります。

率直に言えばラジアンと言う単位は書く必要がありません。三角関数以外の関数、例えば二次関数

y=x^2

でxもyも単位はありませんよね(逆に言えば何でも好きな単位で使える事になります)。三角関数も角度をラジアンで表しておけば

y=sinx

のような関数に単位は必要なくなります。角度を度で表していたら必ず「°」と言う単位が必要になります。

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/02/12 15:01

三角関数の定義に°は使って無いから。

高校では三角関数のチャントした定義を教えていないから無理も無い。
sin：正弦
cos：余弦
tan：正接
日本語の方が定義を的確に表現してます。

弧の長さを半径で割った比を、sin関数に入力すると、弦の長さを半径で割った比の値が求まる：sinの定義からの派生。

元は、「半径1の単位円で、弧の長さを入力すると弦の長さが出力されるのがsin関数」
cos、tanは省略。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/12 14:27

hとxの単位がラジアンならば

lim[h→0]sin(h)/h=1
となり
f(x)=sin(x)
のとき
f'(x)=cos(x)
となるけれども

hとxの単位が°ならば

lim[h→0]sin(h°)/h
=lim[h→0](π/180)sin(πh/180)/(πh/180)
=π/180
となり

f(x)=sin(x°)
のとき
f(x)=sin(πx/180)
だから
f'(x)=(π/180)cos(πx/180)=(π/180)cos(x°)
となるから

No.3 回答者： goorev 回答日時： 2025/02/12 14:17

数学は省略シンプルが大好きな学問なので

１８０とか３６５とか書くのが面倒くさいので
πにしたのでしょう

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2025/02/12 14:00

「度」も「rad」も、同じ角度の単位であり、

両者とも「無次元」です。

> 近似で三角関数を扱う時「°をラジアンに変換」することは
「rad」の定義が、「円弧の長さを半径で除した値」と言う事から、
角度が微小な場合はsinθ≒θ、tanθ≒θ、になるのです。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/12 13:37

「°」も無次元量ですよ。

値がラジアンに比べ180/π 倍なだけ。
1回転がラジアンでは2πだけど、「°」では360を採用している。
「°」でも近似式は作れるけど、式の形がだいぶ汚くなる。
ラジアンを使うのが美しい。