一つの系で見るについて

高校物理で、2つの異なる物体が一緒に運動する場合、内力を消去して、一つの物体として運動してるとみなした運動方程式を立てると思います。
ここでは、疑問に思わなかったのですが、
もう少し上のレベルの力学において、質点系の運動方程式を求める時に、同様のことを行い、内力のキャンセルを行って質点系の運動を議論してる話があるかと思われます。

ここで、ふと疑問に思いました。
単一の質点に複数の外力が作用する場合、それらの複数の外力の総和をとることは、その合力が質点の加速度を表示させるという第二法則（運動方程式）そのものの主張なので、特に疑問はないのですが、
異なる質点の運動方程式を足し算するということが、どのように物理的に意味を持つのか？という素朴な疑問が生まれました。

上手く伝わると良いのですが、単なる数学的な足し算なら、和を取ったのだな、で済むのですが、
物理の式なので、それらの総和を取るということが何かしら正当化される理由があると思うのです。
私の考えなのですが、例えばこの質点系に対して、重心に全質量の集中した仮想的な点を想定した場合、この質点の運動はまさに、質点系に作用する外力のみに依存し、質点系内部で作用し合う内力の影響は見られないという実験的な結果があり、各質点の運動方程式の総和を求めて、導出した結果を重心座標で記述したものがまさにそれになると言うような話があるのではないか？と思うのですが、考えを聞かせてもらえませんか？

どうしても、各質点の運動方程式の総和を取ることに違和感を感じます。

そのようにすることが、何かしらにより正当化されないといけないように思うのです。

おかしなことを聞いていたらすみません。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/28 14:00

もひとつ、これは角運動量の場合

質点系の総角運動量は(riは回転中心に対する相対位置ベクトル)
L ＝Σmiri×vi
ri = rg + ri' (rgは重心の位置)
vi = vg + vi'(vgは重心の速度)
とすると
L ＝Σmi(rg + ri')×(vg + vi')
= (rg×vg)Σmi + rg ×Σmivi' + Σmiri' ×vg + Σmiri'×vi'
= M(rg×vg) + Σmiri'×vi'
#Σmivi'=0, Σmiri'=0を使いました。
つまり　
質点系の全角運動量=
重心にすべての質量が集まった質点の角運動量
+
重心が止まって見える座標系での各質点の角運動量の総和

後者は剛体の場合、剛体の角運動量は重心の角運動量と
重心に対する剛体の角運動量(Iω)の単純和でよいことになります。

剛体の回転を扱ううえで欠かせない知識です。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/27 12:45

これは運動エネルギーの例

質点の質量をmi, 質点の速度を vi とすると
重心の速度は
Σmivi/Σmi=vg

Σmivi = Σmivg
Σmi(vi-vg)=0

vi = vi' + vg

と置くと
Σmivi'=0

質点系の全運動エネルギーは
Σ(1/2)mivi^2 = Σ(1/2)mi(vi' + vg)^2
= Σ(1/2)mivi'^2 +Σ(1/2)mivg^2 + vgΣmivi'
= Σ(1/2)mivi'^2 +(1/2)Mvg^2 　(M = Σmi)

よって、質点系の全エネルギーは、
質点系の全質量を持った質点が重心の速度で運動しているとみなした場合のの運動エネルギー
+
重心が静止して見える座標系から見た各質点の運動エネルギー

剛体なら前者は並進運動エネルギー、後者は回転エネルギーなので
剛体のエネルギーは重心を使うときれいに2種類に
分解できることがわかります。

角運動量に関しても似たような話があります。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/26 22:20

質点系とその重心の関係の応用として大きいのは、なんといっても

剛体の運動でしょうね。
剛体は並進運動と重心回りの回転に分解して扱うのが
定跡のひとつです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/26 19:29

個々の質点の質量と位置を mi, ri として

Σmiri/Σmi=rg （rg: 重心)
Σmi = M として
Σmiri=Mrg (重心の定義)
2回時間微分して
個々の質点の加速度をαi
重心のの加速度をαg とすると

Σmiαi=Mαg=ΣFi　(Fi: 個々の質点にかかる力)

質点間の力（内力）は質点間の作用と反作用ですから
相殺されるので ΣFi は外力の和になります。

以上から重心の加速度=個々の質点にかかる外力の総和/総重量
になります。

簡単ですよね？
作用反作用の法則と重心の定義から数学的に導出できるので
正当化もへったくれもありません。

質点系と重心の関係を表す式はほかにもいくつかありますが
質点の集団を扱うのにとても有用です。

No.3 回答者： mpcsp079goo 回答日時： 2025/03/25 23:03

式を足し算はしないでしょう・・・

独立しているんなら。

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2025/03/25 21:27

＞各質点の運動方程式の総和を取ることに違和感を感じます。

そうですか？総和から平均値を計算すると重心の運動を表す事になります。
その場合、個々の粒子の運動は重心系での運動方程式で表現されます。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/25 21:17

質問の趣旨がよく分かりませんが、

質点の運動（質点は、質量はあるが「大きさ」をもたない）
↓
剛体の運動（「大きさ」のある物体）

ということでしょうか？

この場合には

・微小部分を「質点」とみなした足し合わせ
・その微小部分を無限小とした極限としての積分

という操作を行うことになると思います。
そこでの「内力」は、「作用・反作用」であれば相殺されることになりますが、そうでないものは相殺できません。
相殺できないものは、「並進運動」あるいは「回転運動」に関与することになります。