【格子点】旧課程チャート練習114(1) どこが間違っているのかが分かりません。 答えは、Σのk＝0

【格子点】旧課程チャート練習114(1)
どこが間違っているのかが分かりません。
答えは、Σのk＝0からnまでの(3k +1)で、1/2×(n+1)(3n +2)となるようです。
立式時点から間違えているのですが、何故このような式になるのかが分かりません。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/14 23:06

手書き答案の Σ[k=0..n] (3n-3k+1) までは合ってる。

ここで h = n-k と置換すると、
Σ[k=0..n] (3n-3k+1) = Σ[h=0..n] (3n-3(n-h)+1)
　　　　　　　　　　= Σ[h=0..n] (3h+1)
　　　　　　　　　　= (1/2)(n+1){ 1 + (3n+1) }　；等比数列の和
となって、質問文にあるとおり。

手書きの式変形は、2行目への
Σ[k=0..n] (3n-3k+1) = 3n^2 + 1 + 3n^2 - (3/2)n(n+1) + n
に既に間違いがある。
Σ[k=0..n] (3n-3k+1) = Σ[k=0..n] 3n - Σ[k=0..n] 3k + Σ[k=0..n] 1
　　　　　　　　　　= 3n(n+1) - 3(1/2)(n+1)(0 + n) + (n+1)
と考えたのなら、そうはならんはず。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
先にk=0を代入したものと、k=1からnまでのシグマとで分けて計算したのですが、k=0を計算した際に、何を思ったか写し間違えて3nに2乗をつけてしまっていました！
丁寧に置換までしていただいたのに申し訳ないです！
ありがとうございました！

お礼日時：2025/04/14 23:24

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2025/04/16 12:28

Σの式を難しく考えるより、最初のΣの式を以下のように考えた方が間違えないと思う。

Σの式を
初項3n+1,公差-3,項数n+1の等差数列の和
と考えれば
(1/2)*{3n+1+(3n+1-3n)}*(n+1)
と等しくなるのがすぐにわかります。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/15 15:27

画像の通り

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2025/04/14 21:26

＞Σのk＝0からnまでの(3k +1)で、1/2×(n+1)(3n +2)となるようです。

そうは ならないでしょ。
n=2, n=3 として 実際に計算してみたら。