数ⅱ等式の証明について。 条件付きの問題です。 a+b+c＝0のとき、a^2-2bc＝b^2+c^2

数ⅱ等式の証明について。
条件付きの問題です。

a+b+c＝0のとき、a^2-2bc＝b^2+c^2を証明せよ。

この問題ですが、模範解答は条件式をc＝-a-bに移行して証明していました。

私は、a^2-2bc-b^2-c^2＝0と右辺を移行して、a^2-(b^2+2bc+c^2)で因数分解して
(a+b+c)(a-b-c)＝0　a+b+c＝0から左辺＝右辺となる。

と証明しました。どちらが正しいですか？

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/30 09:13

>どちらが正しいですか？

正しい証明はひとつとは限りません。

ちょっと思いつくのを並べると
・a = -b - c を代入し、左辺と右辺が等しいことを示す。
・b = -a - c を代入し、左辺と右辺が等しいことを示す。
・c = -a - b を代入し、左辺と右辺が等しいことを示す。
がもっともストレートな解き方でしょう。

a^2-2bc＝b^2+c^2　⇔ |a| = |b+c|
を使うのもよいでしょう。

いろんなアプローチがある。どれも正解です。

No.10 回答者： kairou 回答日時： 2025/04/27 15:09

＞a^2-2bc-b^2-c^2＝0と右辺を移行して・・・

つまり a²-2bc=b²+c² が 正しいとして 計算を進めている事になります。
普通 a²-2bc≠b²+c² とした場合、それを変形して、
計算結果の矛盾を 指摘します。
つまり 式と式との間の 文章の書き方が 適切では無い様に思います。

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2025/04/26 20:12

質問者様の証明って結局のところ「証明せよ」と言われている数式

a^2-2bc=b^2+c^2

が正しいと言う前提ですべての式変形を行ってますよね。そこが根本的に間違っています。数学ではなく国語の問題。「〇〇を証明せよ」と言う文の意味を全く理解していないわけですから。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/26 18:54

黙って式だけヅラヅラ並べて、そんなもので答案の代わりにしようとするから、

式を並べる順番によって解ってるとか解ってないとか言われるはめになる。
答案は、ちゃんと文章で書けばいいんだ。

例えば、今回の質問者の考え方なら...
--------------------------------------------------------------------------------
a^2 - 2bc = b^2 + c^2 を証明するには、
これを同値変形した
0 = (a^2 - 2bc) - (b^2 + c^2)
　= a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)
　= a^2 - (b + c)^2
　= (a + b + c)(a - b - c)
の成立を示せばよい。
仮定より a + b + c = 0 だから、これは成り立つ。
--------------------------------------------------------------------------------
とでも書けばok.
素直な考え方で、論理的にも何ら問題は無い。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/26 16:24

a^2-2bc=b^2+c^2 を証明するのだから

a^2-2bc=b^2+c^2が成り立つかどうかはわからないのだから
a^2-2bc-b^2-c^2=0が成り立つかどうかはわからないのだから

最初にa^2-2bc-b^2-c^2=0と書くのは正しくない間違いです
以下のように書くのが正しい

a^2-2bc-(b^2+c^2)=a^2-(b^2+2bc+c^2)
a^2-2bc-(b^2+c^2)=a^2-(b+c)^2
a^2-2bc-(b^2+c^2)=(a+b+c)(a-b-c)
↓a+b+c=0だから
a^2-2bc-(b^2+c^2)=0
↓両辺に(b^2+c^2)を加えると
∴
a^2-2bc=b^2+c^2

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2025/04/26 15:56

a^2-2bc＝b^2+c^2　　から

a^2＝b^2+2bc＋c^2＝（ｂ＋ｃ）＾２
ここで　a= - (b+c) より　左辺＝右辺　は明らか！
　でもいいので　どちらの解き方でもいいです。
数学の問題は良問の場合　解き方が3-5種類あるので色んな解き方を
考えることがセンスを養うのにいいです！

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/04/26 15:14

どちらでも良いです。

が、貴方のやりかたの場合は注意深く回答しないと×かな？です。
(a²-2bc)-(b²+c²)を計算すると・・・・・(a+b+c)(a-b-c)となり、
条件a+b+c＝0より(a²-2bc)-(b²+c²)＝0となる。
よって(a²-2bc)=(b²+c²)が成立つ。

ってな具合に。

つまり(a²-2bc)=(b²+c²)を証明しなさい、と言ってるのにいきなり
移行して(a²-2bc)-(b²+c²)=0が成立つ事を前提に使ってる。
＝が成立つかどうか未だ解らないのに・・・・です。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/04/26 14:15

厳密にいえば, どちらもおかしいといえるかもしれない.

さておき.

模範解答は正しい... #3 でいわれているように a を消す方が自然だと思うけど.

あなたのやりかたは, あまりよくない. 文章できちんと書いていれば問題ないんだけど, 適切な表現をしないと「間違った方法」と相手に認識されるかもしれない.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/26 13:24

どっちでもいいですよ。

ひとつの事実を証明するのに、証明なんて何個でもあります。
個人的には、a = -(b+c) を代入するのが好きかなあ。

No.2 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2025/04/26 11:41

どちらも正しいですよ。

証明の仕方は1通りとは限りません。少なくとも、中高でやるような基礎的な数学に出てくる定量や問題は、大体2つ以上は証明の仕方があります。

有名な例で、「√2は無理数か？」という問題の証明方法は、背理法を使ったり素因数分解の一意性を使ったり、有理根定理を使った3つの方法が代表的ですね。