正規分布は一見、円と何も関係が無いように思いますが、その分布を表わす式には、なぜか円周率πが登場する

正規分布は一見、円と何も関係が無いように思いますが、その分布を表わす式には、なぜか円周率πが登場するのですね。
私は驚きました。

この分布と円とは、奥底でつながっているのかも、と妄想しています。

皆様のご感想をください。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2025/06/06 00:45

ガウス関数

　　f(x) = (1/C) e^(-kx²)
は
「f(x)f(y)という2変数関数を(x,y, f(x)f(y))のグラフに描いたとき、等高線が全部、原点(x,y)=(0,0)を中心とする円になるような関数fは何か」
という問題の解です。
　この問題は
「どんな実数x,yについても
　　f(x)f(y) = f(0)f(√(x² ＋ｙ²))
を満たすf」
という関数方程式で表せます。そして、この方程式の解fは、定数関数か、ガウス関数 (1/C) e^(-kx²) しかない。つまりこれは、「ガウス関数を（決定的に）特徴付ける性質」なんです。

　上記の関数方程式からただちにわかるように、ガウス関数はもちろん、
　　f(x)f(y)f(z) = (f(0))² f(√(x² ＋ｙ² + z²))
　　f(x)f(y)f(z)f(p) = (f(0))³ f(√(x² ＋ｙ² + z² + p²))
などの解でもあります。

　確率論の文脈では、互いに独立な事象X,Yの確率密度関数が同じガウス関数f(x), f(y)になっているなら、それらの同時分布の確率密度関数f(x)f(y)はf(0)f(√(x²＋ｙ²))になり、また、xとyの線形結合 z=x cosθ + y sinθ　についての周辺確率の確率密度関数もθによらずf(z)になる、ということが、ただちに従います。このことは確率論で結構使うんじゃないかしらん。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2025/06/05 16:02

No.2です。

私は統計屋のくせに、ガウスの誤差関数を丸暗記するだけで、ご質問者のような疑問が浮かびませんでした。

このたび、しっかりその理由を学べたことに、むしろ感謝しております。そういう訳だったのかと納得できました。

機会を与えて頂き、ありがとうございました。

この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。
我々（私を筆頭に）が見逃していることでも、思わぬところに深い・意味ある関連があるものですね。
私こそ、良い＜機会を与えて頂き、ありがとうございました。＞

お礼日時：2025/06/05 18:35

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2025/06/05 09:47

なぜ正規分布に「π」が現れるか↓

感想としては、「そういう訳だったのか！」

https://www.bing.com/videos/riverview/relatedvid …

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
引用して頂いたビデオを見ました。私は、難かしくて理解してるとは思えませんが、確かに円が出てくるのですね。
＊
＊
以下私の気持ちです。
この世は「円」と「直線」でできているのですね。したがって、円（π）が私には忽然と現れたと思っても、何ら不思議ではないのですね。

お礼日時：2025/06/05 14:59

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/05 09:47

円と何も関係が無いように見えますか？

確率密度関数に e^ とか x^2 とか現れてて、
一見して、いかにも何か円と関係ありそうな式ですけど。

実際、∫[-∞,+∞] (1/C) e^(-x^2/2) dx = 1 になるような
C を求めるときよく行われる計算、
C^2 = {∫[-∞,+∞] e^(-x^2/2) dx }{ ∫[-∞,+∞] e^(-y^2/2) dy }
= ∫[xy平面] e^(-(x^2+y^2)/2) dxdy
= ∫[0,2π] ∫[0,+∞] e^(-r^2/2) r dr dθ　；極座標変換
= { ∫[0,2π] dθ }{ ∫[0,+∞] e^(-r^2/2) r dr }
= { 2π - 0 }{ ∫[0,+∞] (d/dr)e^(-r^2/2) dr }
を考えれば、 x^2 + y^2 = r^2 が計算の鍵だって判ると思います。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
私の頭では全然理解でませんが、＜x^2 + y^2 = r^2＞が出てくる、すなわちrが出てくるのですね。

お礼日時：2025/06/05 17:24