aもbも正の整数とする。√2はa/bとa+2b/a+bの間にあることを示せ。という問題です。お願いします。

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A 回答 (2件)

a/b=tと置くと問題文は次のように言い換えられる。


tを正の有理数とする。√2はtとt+2/t+1の間にあることを示せ。
<解の方針>
(1)√2<tならばt+2/t+1<√2
(2)0<t<√2ならば√2<t+2/t+1
を示すだけ。あとはt=a/bに戻せばよい。

<解>分数関数で考えれば簡単だがここは分母を払おう。
まず(1)を考えよう。
√2<tならばt+2/t+1<√2…(1)
⇔√2<tならばt+2<√2(t+1)…(1)'(∵√2<t)であるから(1)'を証明すればよい。
右辺-左辺=Pとすると、
P=√2(t+1)-(t+2)=(t+1)(√2-1)-1>0(∵√2<t)
よって、P>0より(1)'は成立。よって(1)も成立。

(2)はご自分でおやり下さい。
さて、t=a/bとして題意成立。

<考察>
大学への数学での解はなんというかへんてこな解ですね。ここで与式が変数a/bで表わせられることに気づけばもう終わったも同然。普通2変数で表わされる式はなんとか1変数に直して考えるというのが基本です。それができなきゃ順次変化させればよい。東大でも過去にこういう発想が出来ていれば簡単になる問題を出しています。(2)もこの考え方でやるとめちゃ簡単ですよ。
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この回答へのお礼

とても助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/03 06:37

a,bがうるさい。

そこでa/b=tとおくと…。

この回答への補足

すいません、tとおいてもよくわからないのでもう少し詳しく教えてください。

補足日時:2001/10/02 22:29
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Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
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f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

Aベストアンサー

反例:
xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
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 f(a-√b) = c - √b
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1/(a+√b+√c+√d+√e)
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可能でありましたら、より一般の場合も教えていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

解説しているサイトがありました。

http://blog.livedoor.jp/seven_triton/

上記サイト内の √素数の問題 というとこです。

Q(5√2+7)2n+1乗(2n+1)までがべき乗!の整数部A少数部をaとし(A+a)aの値?

友人から以下のような謎のメールが届きました。
これは今はやってるチェーンメールか何かなんでしょうか??
一見数学の問題のように見えますが、実は解の存在しない
タチの悪いイタズラ出題のような気もします。
数学に詳しい方、答えが出なくともヒントだけでも結構ですので
何かありましたら、教えて下さい。

↓そのままメール本文をコピーして貼り付けました。

>ムスメハアズカッタ、返して欲しければ次の問題をとけ!
>nを負でない整数として
>(5√2+7)2n+1乗(2n+1)までがべき乗!
>の整数部分A少数部分をaとするとき
>(A+a)aの値を求めよ!

Aベストアンサー

ここにも投稿していたんですか?

aのm乗はa^mと表記します。
ですから、(5√2+7)^(2n+1)と書いた方がわかりやすいですね。

二項定理を用いて(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)を計算すると
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
=7^(2n+1)+・・・+[(2n+1)!/{(2i)!(2n+1-2i)!}]*7^(2n+1-i)*50^i+・・・+(2n+1)*7*(50)^n
となりますから
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)は整数です
しかも、-1<7-5√2=√49-√50<0ですから、-1<(7-5√2)^(2n+1)<0です。
よって
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)<(7+5√2)^(2n+1)<(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)+1
が成立します。
よって(7+5√2)^(2n+1)の整数部はA=(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
小数部はa=-(7-5√2)^(2n+1)となります。

以上より(A+a)a=(7+5√2)^(2n+1){-(7-5√2)^(2n+1)}=(-1)(49-50)^(2n+1)=(-1)(-1)=1
となります。

よって、(A+a)a=1と求まりました。

ここにも投稿していたんですか?

aのm乗はa^mと表記します。
ですから、(5√2+7)^(2n+1)と書いた方がわかりやすいですね。

二項定理を用いて(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)を計算すると
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
=7^(2n+1)+・・・+[(2n+1)!/{(2i)!(2n+1-2i)!}]*7^(2n+1-i)*50^i+・・・+(2n+1)*7*(50)^n
となりますから
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)は整数です
しかも、-1<7-5√2=√49-√50<0ですから、-1<(7-5√2)^(2n+1)<0です。
よって
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n...続きを読む

Qx=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをどんどん続けていくと、それぞれの項を小数第二位まで求める必要が出てくると思います。

どんどん続けていくと、その都度、それぞれの項を精密に考え直さなくていけなくて、しかも、小数第何位まで精密に考えなくてはいけないのかなど、自明ではないので、そんないいやり方ではないと思っています。

もっと、いい求め方がありましたら、概略だけでも教えていただきたく思います。

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをど...続きを読む

Aベストアンサー

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
を代入するといった具合です。

この方法のもとなるのは
xの小数部分が区間[0,1]に一様に分布するということをつかうのですが、(このことが成り立つかどうか知りませんが)
もし成り立つのならば誤差がならされて大きな項数を加えるときそう大きな誤差にはならないはずです。

1から100までの素数の平方根でやってみると
√2+√3+√5+……+√97=150.288
整数近似のほうは150,小数点第一位近似では150.2
とかなり良い値が得られました。
もちろんこれから整数部分が150という結論は出てこないですが(この場合ちょっとうまくいきすぎでもっとずれる可能性もある)、大体の値を得られるでしょう。確率論を使うとどれくらいの確率でこれこれの範囲内に真の値があると計算できると思います。

外の例でもためしましたが、場合によっては結構誤差が大きくなったりします。
あまり役に立たないかもしれません。

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
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