微分方程式の必要十分条件について

問題(出展 70年　阪大)
f(x)は連続関数で負でないすべての実数xについて次が成り立つ

x+∫[0→x ]f(t )dt =∫[0→x](x-t)f(t)dt
この関数f(x)を求めよ


解答の大まかな流れ
両辺xで微分して、次にf(x)の連続性を考えて
lim[x→+0]f(x)の値を考える
そのあともう一度微分すると
f´(x)=f(x)
と出るから定数関数(f(x)=0)でないことを示す
dy/dx =y
とし両辺積分して積分定数も具体的な値から求めて
f(x)=-e^x
と答えが出ます

でも解答ではこのあと最初に問題文で与えられた式に戻して両辺が一致することを言って十分である
と言っているんですよね

微分方程式ではこのように戻して十分というのがふつうなんですか？
微分方程式における必要十分条件について教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/08/03 23:28

元の方程式(1)を微分して方程式(2)を作った。

これはP1:「ある関数fが(1)の解であるためには、fが(2)の解の集合Sに含まれる必要がある」ということです。で、(2)の解の集合Sが具体的に同定できて、S={-e^x, 0} だった（としましょう）。Sには、元の方程式(1)の解ではないものが含まれうる。だから、この段階では、(1)の解はこれら二つなのか、どちらかひとつなのか、あるいは(1)には解がないか、という可能性があるわけです。
　そこでまず、Sの要素のうち定数関数0が(1)の解でないことを確かめた。これでP2:「fが(1)の解であるためには、fが-e^xである必要がある」が言えました。
　さらに、残るひとつのSの要素である-e^xが(1)の解になっていることを証明したのでP3:「fが(1)の解であるためには、fが-e^xであれば十分だ」と言えたわけです。
　で、P2とP3から「fが-e^xであることは、fが(1)の解であることの必要十分条件だ」と言える。
…という構造ですね。

この回答へのお礼

よくわかりました
ありがとうございます！

お礼日時：2020/08/11 11:25