「2次方程式 ax2-bx+3c=0において、 a,b,cは1桁の自然数であり、2つの解α,βは、1<α<2, 5<β<6をみたしています。このとき、a,b,cの値を求めなさい。」
という問題なのですが、xに 3/2 , 11/2 をそれぞれ代入して、整理すると、不合理が出てきました。実際にxに2つのα,βの値を代入して、求めるやり方はどこがいけないのでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

はじめまして。


なぜ代入するのがまずいのかと言うと、それは推測に過ぎないからです。
答えが一つとは限らないからですね。
代入法の場合、多くは帰納法で証明が必要でしょう。
行列なんかをやると係数比較や代入が重要になってきます。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。ご質問にお答えくださった皆さんすいませんでした。質問で、
>xに 3/2 , 11/2 をそれぞれ代入して、整理すると、不合理が出てきました。

と書いたのですが、もう一度計算をしてみると、ちゃんと答えが出ました。ということは、あとはa,b,cの解の必要性を論じればよいのですね。でもZincerさんの仰るように、
α,βの範囲が整数間隔ではなくて小数点まで含む連続する範囲だから、帰納法でやるのは不可能っぽいですね。この場合は数値を代入せずに解と係数の関係で解いていこうと思います。お返事ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/05 00:35

s-wordさんは、ある定数a,b,cが与えられた時の「y=ax2-bx+3c」のグラフが書けますよね。

ax2-bx+3c=0の2つの解α,βがy=0(x軸)上の切片(交点)の値であることはご承知の事と思います。
s-wordさんがやろうとしたことは(3/2,0)と(11/2,0)の2点を通る無数の2次曲線の中から、たまたまa,b,cが1桁の自然数になる組合せを探そうとしたのです。とりあえず見つかるかもしれませんが(「不合理が出てきました」とあるから存在しないのでしょう?)質問中の問題の解(交点)の条件は「1<α<2, 5<β<6」ですので、答えはそれだけでは無いかもしれません。
(α,β)はそれぞれ有理数で無いかも知れないわけですから、適当な値を代入して全組合せを探すのはとても無謀(おそらく不可能?)な事なのです。
ご理解いただけますでしょうか?
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この回答へのお礼

>たまたまa,b,cが1桁の自然数になる組合せを探そうとしたのです。とりあえず見つかるかもしれませんが(「不合理が出てきました」とあるから存在しないのでしょう?)

すいません、もしやと思いもう一回計算をやってみると計算間違いであることが判明しました。やはり仰るように見つからなきゃおかしいですね。ごめんなさい。
数値を実際に代入する解法は解答に不備があることが理解できました。穴埋め問題にしか通じない解法ですね。ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/05 00:42

これは、α、βを任意に選べる性格のものではないです。


このような2次方程式では、具体的なα、βを求めるのではなく、
α、βの性質からa,b,cを求めていきます。

まず、解の公式の応用でつぎのことが成り立つのはお分かりですね。
α+β=b/a
α・β=3c/a
また、6<α+β<8、5<α・β<12が言えるので、これらに代入すると
題の条件とから、a=1,b=7,c=2,3が得られます。
このうち、c=2のときは、x=1,6となるので、題の条件を満たしません。
よって、a=1,b=7,c=3となります。確認のため、
x2-7x+9=0の解を求めると、α、βの条件を満たします。
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この回答へのお礼

>これは、α、βを任意に選べる性格のものではないです。

お返事してくださってどうもありがとうございます!!α、βはそれぞれ、1<α<2, 5<β<6 をみたしているから、その範囲での値をxに代入しても良さそうだと思ったのですが、なぜだめなのでしょうか。確かに等式の方程式で、不等式の解が出てくることはおかしいと思うのですが、係数が文字だから、一桁の自然数を代入すると、解が1<α<2, 5<β<6 の範囲に揺れるということですよね。解が上の範囲だったらどれでも良いということではないのでしょうか。すいません、混乱してきました。

お礼日時:2001/10/03 22:05

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チップアンテナについてお聞きしたいのですけど、温度特性について温度係数と周波数帯域の関係を知りたいです。また、知るためにはどうすればいいでしょうか?温度係数が大きいなら帯域を広げればいいと思うのですけど、逆に温度係数が小さいなら帯域は狭くてもよいなどを知るためには、どのような方針を立てればいいでしょうか?

Aベストアンサー

温度特性は材質などによって異なると思います。
おそらく誘電体アンテナの事を言われているのだと思いますが、これはメーカに確認した方が良いでしょう。
誘電体アンテナの多くは50Ωに整合させるためにL/Cを使います。
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     わかる方いましたら、ぜひ教えてください!!お願いします!! 

Aベストアンサー

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2)

同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3)
α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0.
解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4)
(4)を因数分解すると、(a+3)*(a-6)^2=0 となる。 以下、省略。

こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(...続きを読む

Qフーリエ級数の係数の求め方について。

以下の式を用いて,計算をしようとしております。
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このとき,係数a,bと64点のw(x,y)の数値が分かっています。あとは,αij(i=4,j=4なので係数が16コ)を求めるだけなのですが,この係数αの求め方が分かりません。

ちなみにαの係数を求めるのに,行列問題として
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としています。

そして,行列[A]の逆行列を求めて,[w]にかければ{α}が求まり,この係数を使って逆にw(x,y)を求めてみたらもともとの値と全く違う結果となってしまいました。

係数αを求めるのにどうすればよいか困っております。詳しい方がいらっしゃいましたらご指導のほう宜しくお願いします。

Aベストアンサー

 ご要望に答えて最急降下法について説明します。

1.まず誤差関数Eを定義します。
 何通りか方法があるようですが次のようなものでいいと思います。
 ただし、DnはW(Xn,Yn)の所望の値とします。
E=(1/2) Σ(n=1~64) {W(Xn,Yn)-Dn}^2

2.Eを各αijにより微分します。
 dE/dαijが求まります。

3.αijの更新量Δαijを算出します。
 Δαij = -A dE/dαij

 Aは0より大きい正の実数定数で、任意です。あまり大きすぎるとうまく計算ができなくなり、小さすぎると計算が遅くなります。最初は0.3程度にして遅ければ大きくしてやり直すといいと思います。

4.各αijを更新します。
αij ← αij +Δαij

5.誤差関数の大きさを確認して誤差が十小さくなっていないならステップ2へもどります。
 うまくいけばEの値が0になりますが、今回はそういう事は無いと思います。

 手順の説明は以上です。
 一応、機械的に従えばできるはずです。見てとれたならば失礼ですが、もし疑問がわくとすれば、Eの定義がなぜ上のようなものになるかという事と、更新量の算出方法でしょう。
 Eは、全体の誤差が大きくなればなるほどに、出力値が大きくなる関数という事です。係数の(1/2)は微分したときにすっきりするためにつけてあるだけです。
 更新量については、dE/dαijとはαの微小変化に関する増減の割合と見れますから、dE/dαij>0のときαijが大きくなれば誤差が増えるとだけいっておきます。

 あとはがんばってください。
 

 ご要望に答えて最急降下法について説明します。

1.まず誤差関数Eを定義します。
 何通りか方法があるようですが次のようなものでいいと思います。
 ただし、DnはW(Xn,Yn)の所望の値とします。
E=(1/2) Σ(n=1~64) {W(Xn,Yn)-Dn}^2

2.Eを各αijにより微分します。
 dE/dαijが求まります。

3.αijの更新量Δαijを算出します。
 Δαij = -A dE/dαij

 Aは0より大きい正の実数定数で、任意です。あまり大きすぎるとうまく計算ができなくなり、小さすぎると計算が遅くなります。最初は0.3程度...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qグラフから係数を...

 こんばんは、早速、質問ですが
 例えば2次関数 y=ax^2+bx+c (a≠0)の
係数a,b,cが定まれば関数もしくはグラフが描けます。
(そのような数学教育ソフトもたくさんあります。)
 ここからが質問の趣旨です。
その描かれたグラフをマウスで、クリックなりドラックなりして
平行移動や(この場合b,cが変化します)
下に凸ならば、鋭く、もしくは緩やかになったりと
(この場合はaが変化します)
グラフをいじくると、それに対応した係数がかえってくる。
そのようなソフトってありますか?

 多くのソフトですと、係数を代入してグラフが描かれますが、
その逆のことです。
おそらく任意に平行移動や鋭く緩やかなので
かえってくる係数のほうも、かなり半端な値になると
思いますが(2.57553...とか)

 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

オフィスソフトの定番のエクセル・・

これで、点の座標をあたえてやり、
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細かい操作はここでは説明が難しいですが、
エクセルがあればできるので、ヘルプなどを見てがんばってください。

QP(α,2α)、Q(β,β/2)、A(a,a)の△ABCの周の長さの最小値は?

以下の問題なのです。

[問]a>0に於いて
P,Qを夫々y=2x、y=x/2上の点とし、A(a,a)する。この時、△APQの周の長さが最小となる時のP,Qの座標を求めよ。
[解]
AP+AQ+PQの最小値は相加・相乗平均から
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点Aのy=2x,y=x/2に関して対称な点をA',A"として、直線A'A"とy=2x,y=x/2の交点が点P,Qのとき最小となるのではないでしょうか?
最短距離の問題を思い出してください。
後は分かりますよね?

相加相乗平均についてはご指摘の通りです。
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Q粘性係数と動粘性係数の違いは?

粘性係数を密度で割ったものが動粘性係数になることは分かりますが,その物理的意味が分かりません.
たとえば,
(1)粘性係数が大,動粘性係数も大,
(2)両方とも小
(3)粘性係数が小,動粘性係数は大
(4)粘性係数が大,動粘性係数は小
という物性値の物質があると思うのですが,
それらの流れやすさや流れ方などが,どう違ってくるのかを教えて頂きたいです.
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

ご明察のとおり、動粘性係数は、粘性係数を密度で割ったものに過ぎませんので、これらだけを比較しても、あまり意味はありません。しかし、流れを扱う流体力学では、動粘性係数がよく使われます。流体力学では、レイノルズ数と言って、長さ×速度÷動粘性係数で表される、無次元数があります。このレイノルズ数こそは、本当に物理的な意味があります。たとえば、円管内の流れの様子は、レイノルズ数が同じなら同じになります。

Qα_1,α_2,…,α_n が非零の時,e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です

Let α_1,α_2,…,α_n be distinct numbers, ≠0. Show that the functions
e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt) are lineraly independent over the complex numbers.
[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must be zero.(Why?) Get a contradiction from this.]

と言うe^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です。
(もし,c_iの一つでも非零なら全c_iも非零である事を使ってよいようです)
n-1回微分して得られる一次連立方程式の係数行列の行列式は

とりあえずn-1回微分してみましたらその係数行列の行列式が0でなければならない事から
矛盾を引き出せと述べてあります。

係数行列Aは
A:=
(c_1,c_2,…,c_n)
(c_1α_1,c_2α_2,…,c_2α_n)
(c_1α_1^2,c_2α_2^2,…,c_nα_n^2)
:
(c_1α_1^(n-1),c_2α_2^(n-1),…,c_nα_n^(n-1))

と書けると思います。

そして,その一次連立方程式は
At^(e^α_1t,e^α_2t,…,e^α_nt)=0
と書けます。
(但しtは転置行列を表す)

このdet(A)=0でなければならないのは何故なのでしょうか?

そしてdet(A)=0ならどうして矛盾なのでしょうか?

Let α_1,α_2,…,α_n be distinct numbers, ≠0. Show that the functions
e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt) are lineraly independent over the complex numbers.
[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must ...続きを読む

Aベストアンサー

この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
すぐ計算できる.
そうすると「αi」が全部違うから0ではない
つまり,係数が全部0になり一次独立.

ヒントの通りにするなら
without loss of generality,we may assume that none of them is 0.
の意味を理解して,やっぱりファンデルモンドで矛盾

この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
す...続きを読む

Q次数と係数

Q1次の単公式の次数と係数をいえ。
(1)5x^2 (2)x (3)1/2ax (4)-3abx^2

答え
(1)次数2係数5
(2)次数1係数1
(3)次数2係数1/2
(4)次数4係数-3

Q2次の単公式で〔 〕内の文字に着目したとき
次数と係数をいえ。

(1)3ax^2〔x〕 (2)4ax^2y^3〔y〕(3)-2a^3xy〔a〕

答え
(1)次数2係数3a
(2)次数3係数4ax^2
(3)次数3係数-2xy

であっていますか??

Aベストアンサー

貴方の答えは、Q1 と Q2 で考え方が異なっています。
正しいのは、Q2 のやり方のほうです。

Q1.
(1)(2)は合っている。x しか変数がないから。
(3) x に着目すると、次数 1 係数 (1/2)a。
  a に着目すると、次数 1 係数 (1/2)x。
  x と a に着目すれば、次数 2 係数 1/2。
(4) x に着目すると、次数 2 係数 -3ab。
  a に着目すると、次数 1 係数 -3bx^2。
  b に着目すると、次数 1 係数 -3ax^2。
  x,a,b 全てに着目すれば、次数 4 係数 -3。
  他にも、x と a だけに着目するとか
  ありえるかもしれません。どの変数についての
  次数と係数の話だか、明示する必要があります。

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。


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