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階差数列の公式に関する質問です。
階差数列からもとの数列を求める公式
n≧2のとき
An=A1 + Σ(Ak+1 - Ak)
ですが、n=1のとき成り立たない場合があるのでしょうか?
今まで問題を解いている中ではすべてn=1のときも成立しました。n=1の時を考えるとΣの範囲がおかしくなるのでn≧2で考えると先生から聞きましたが、n=1でも一般項が成立しています。
和と一般項の関係
n≧2
Sn - Sn-1 = An
n=1
S1 = A1
の場合はn=1で成り立たない場合は何回か解いたことがあります。
もし階差数列でn=1が成り立たない場合があるのでしたら、それはどのような場合でしょうか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
数列{an}の階差数列{bn}を用いて一般項anを求めるのに,
an=a1+(b1+b2+・・・+bn-1)・・・(1)
(ただし n=2,3,4・・・)
を用いた場合,n=1のときの整合性を吟味する必要がある。
しかし,(1)から求めた式は,実際のa1とほとんどの場合一致する。
そこで,(1)は,n=1のときの吟味なしで十分なのではないかと思い,
証明方法を改良してみることにした。
[証明]
数列{an}の階差数列{bn}で,
b0=0,a0=a1-b0 (=a1)
と定義すると,(初項と同じものを第0項として余計に付けただけ)
以下のような関係になる。
数 列 a0 a1 a2 a3 a4 ・・・ an-1 an
階差数列 b0 b1 b2 b3 bn-1
ak - ak-1 = bk-1 (k=1,2,3,・・・,n)
したがって,
an =a0+b0+b1+b2+b3+・・・+bn-1 ・・・・・・(2)
(n=1,2,3,4・・・)
(n=1でもなりたつ所がポイント!)
さて(2)は,b0=0,a0=a1-b0 (=a1) と定義したので,
n≧2のとき
an =(a0+b0)+b1+b2+b3+・・・+bn-1
=a1 +(b1+b2+b3+・・・+bn-1) (今まで通り)
また,(2)は,a0=a1,b0=0 だから
an =a0+b0+b1+b2+b3+・・・+bn-1 (n=1のときも成り立つ式!)
=a0+b0
=a1 (n=1のとき)
以上の考察から,
(2)を基本として求めれば,n=1についての吟味は
不要であるあることがわかる。
ところが定期考査や入試では,
この事実を,既知のこととしてn=1の吟味をしないで答案を書くと,
減点される心配があります。
そこで,証明の際には,
「 b0=0,a0=a1-b0 (=a1) と定義すると
an =a0+b0+b1+b2+b3+・・・+bn-1
(n=1,2,3,4・・・) 」
を先頭に付け加えるとよいでしょう。
そんなの面倒くさいというなら,
今まで通りに,n=1の場合を別枠で調べてください。
なお,No3(nakaizu)さんが回答の中で
{an}:0,2,3,4,・・・
{bn}:2,1,1,1,・・・
を例に出していますが・・・
引用
またs[n]=b[1]+b[2]+…+b[n]とすると
a[n]=a[1]+s[n-1]となります。・・・
s[n-1]=nなのでn>1のときには
a[n]=nとなりますが、n=1のときには成り立ちません
引用終わり
引用1行目 s[n]=b[1]+b[2]+…+b[n] とありますが,
n=0のときが定義されていません。
s[n]=b[1]+b[2]+…+b[n] (n>1のとき)
s[n]=0 (n=1のとき)
とすれば,矛盾はありません。
上に示したやり方ですと
b[0]=0,a[0]=a[1]-b[0]と定義し,
s[n]=b[0]+b[1]+b[2]+…+b[n] (n>=1)
と考えるということです。
そもそも階差数列を用いて一般項を求める方法の問題点は,
初項の前に項がないから,階差がつくれない。
それで,n=1のとき別に調べなければならない・・・
という,形式的なことからくるものです。
ところで,数列とは関数y=f(x)の定義域を自然数に限定したものです。
n=0も加えてa1の前の項a0を作ってやり
a0 a1 a2 a3 a4 ・・・ とし,
x=0,1,2,3,・・・に対するf(x)を求めたら
再度定義域を0を除いた自然数に限定してやれば,
a0は別に調べなければならなかったけれど,その右のa1からは
f(x)のとおりですよ~。
というわけです。
また,和Snからanを求める問題については,
a1=S1 ・・・・(#)
an=Sn-Sn-1 (n>1)・・・(*)
の公式で求めますが,
n=1のとき(*)に無理矢理n=1を代入すれば,
a1=S1-S0 ・・・・(#1)
となりますが,S0は定義されていませんので,
やってはいけないのですが・・・
S0=0になる場合は
n=1のときも(#)と(#1)は整合性があります。
ですから,こういうときはn=1のときが
n>1のときと回答の式を1本にできる場合なのです。
でも,
S0 ≠0のときは,整合性がありません。
このときは,必ずn=1のとき別枠で調べ,
回答もn=1のときとn>1のときの
2本立てで回答することになります。
Snは,nの整式で与えられることがほとんどですので,
Snの定数項が0のとき→1本にできる
Snの定数項が0でないとき→2本立て
になります。
No.3
- 回答日時:
はっきり言って、普通に解いていったときには例外が発生しません。
より詳しくいえば、Σの計算を高校で習っている公式などで求めた時には例外が発生しないのです。それではどのような時に例外が発生するのかというと、Σを求める公式を自分で作ったりすると発生することがあります。
数列の第n項をa[n]などと表すことにします。
a[n]が0,2,3,4,5,6,…という初項以外は等差数列となっている数列を考えます。
a[n]の階差数列をb[n]とするとb[1]=2,b[2]=b[3]=…=1
です。
またs[n]=b[1]+b[2]+…+b[n]とすると
a[n]=a[1]+s[n-1]となります。
さて、s[n]をもとめてみるとs[n]=2+1+…+1と2を1つと1をn-1個足したものですからs[n]=n+1となります。a[1]=0
、s[n-1]=nなのでn>1のときには
a[n]=nとなりますが、n=1のときには成り立ちません.
No.2
- 回答日時:
あなたがこれまで解いた問題の中で、nが1のときも成り立っていたのは、偶然と考えてください。
nが1のとき成り立たないより、成り立った方が感じが良い、と、問題作成者の好みで、成り立つような数列を選んで出題されているケ-スがある、と考えてください。
(反対に、成り立たないようなケ-スを好んで出題する人もいそうですが。)
ですから、たとえ、nが1のときも成り立つそういう数列でも、しっかり、「n≧2のとき、」 という文言を書かなければ減点になります。また、、「n = 1のとき、」を別に明記しなければ、減点されます。
最後の質問は、すぐに例が見つかりません。ということは、あなたのおっしゃるように、求めた一般項が n = 1のとき、成り立たないような問題例は、少数なのでしょう。
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No.1
- 回答日時:
An=A1 + Σ(Ak+1 - Ak)
この公式のΣのkの範囲は、1からn-1ですよね?
ですから、n=1のときはkが1から0までたし算、というおかしなことになりますよ。
これを仮に、0から1と考えたとしても、
A1-A0を計算することになりますから、
A1=A0が成り立たない(もしくはA0が未定義)ときには、式も成り立たなくなります。
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