段階補正率の算出方法

Question

いつもお世話になっています。
段階補正率について質問です。

段階補正率の算出の仕方が分かりません。
人口段階：　　100,000人　　250,000人
一般財源：　1,079,452円　2,268,064円
単位費用：　 10,800円　　　9,072円
（消防費：市町村）の場合、
150,000×10,800円-250000×(10,800-9,072円)
/150,000×10,800円

増加した人口×測定費用-全体人口×減少した単位費用/増加した人口×測定費用
で人口100,000人から250,000人までの補正率を0.73と算出しているのですが、どうしてこのような算出の仕方をしているか分かりません。

私は、人口250,000人から100,000人までの一般財源をグラフし、その傾きから100,000人の単位費用を１として比率を出しているのだと考えていたのですが、違うようでした。
上記の計算はどういうことなのでしょうか？グラフや図表を使って説明できるものなのでしょうか？

Ki4-U2 · Accepted Answer

＞＞「測定単位の数値が○○に満たないもの」の部分では、表の数値 ＝ 1 － 傾き
＞＞となっているのです。
＞ということは、もう少し、詳しくいうと、基準の数値の傾き（？）１よりも測定単位が減るので、傾きをひくという表現であっているのでしょうか？

「1 - 傾き」の「- 傾き」の部分は、「100,000人に満たない数」（つまり 100,000 - Ｘ）が、Ｘが小さくなる（グラフを左に動いていく）と大きくなっている
（Ｘそのものや「100,000人を超える数」（Ｘ-100,000）は、Ｘが大きくなる（グラフを右に動いていく）と大きくなる（これが普通））ため、
正負を逆転させたもの、と考えてください。

式に「１」が現れるのは、「その団体の数値 1」（Ｘ×1）に対応しているものです。
（これ以上の説明を考えつけなくて……）



ところで、「測定単位の数値が100,000人に満たないもの」についての表現

> その団体の数値 1
> 100,000人に満たない数が70,000人までの数 0.11
> 100,000人に満たない数が70,000人を超え80,000人までの数 -0.12

これを、

> 100,000人 　 1
> 100,000人に満たない数が70,000人までの数 -0.89
> 100,000人に満たない数が70,000人を超え80,000人までの数 -1.12

と、（得られる式は一緒になるように）書き直すことができます。
こうすると、表の数値が「－傾き」となって、少しは分かりやすいでしょうか。
（「－」がつく理由は、一番上の説明のとおりです）

Ki4-U2 · Answer

No.1 です。補足に今気づいたので、何日もお待たせしたかもしれません。

> 測定単位の数値が100,000人に満たないもの
> その団体の数値 1
> 100,000人に満たない数が70,000人までの数 0.11
> 100,000人に満たない数が70,000人を超え80,000人までの数 -0.12

（わたしの参照している省令（国の「法令データ提供システム」
http://law.e-gov.go.jp/cgi-bin/idxsearch.cgi
で検索）では、-0.12 ではなく -0.13 です）

この場合は、前問で説明した方の計算方法になります。
（例:「～が70,000人を超え80,000人まで」つまり 30,000≧Ｘ≧20,000 の場合）
　　Ｘ × 1.0
　＋ 70,000 × 0.11
　＋((100,000 - 70,000) - Ｘ) × (-0.13)
　＝(1-(-0.13))Ｘ ＋ 70,000 × 0.11 ＋ (100,000 - 70,000) × (-0.13)
　＝1.13Ｘ ＋ 3,800

この式は、No.1で示したうちの
　　　　Ｘ　　 　Ｙ
　　 20,000 　 26,400
　　 30,000 　 37,700
の2点を結んだ直線です。

　直線の傾き 1.13 が 1-(-0.13) であること、逆に言うと 表の数値 -0.13 が 1 - 1.13 であることに注目しましょう。
　省令の表で、「測定単位の数値が○○以上のもの」の部分では、
　　表の数値 ＝ 傾き
なのですが、「測定単位の数値が○○に満たないもの」の部分では、
　　表の数値 ＝ 1 － 傾き
となっているのです。
（「○○に満たない数が△△までの数」といった、すさまじくややこしい表現のせいです。
　厳密さを求められるとああいう表現にするしかないのでしょうか。いっそ数式を書いてしまった方がいいと思うのですが……）

Ki4-U2 · Answer

前回のご質問：「補正係数と補正率は違う意味なのですか？」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1741593
では、おつかれさまでした。関連するのでリンクを表示してます。

さて、補正率の算出ですが、[人口]と[人口×単位費用]の関係（つまり[人口]と[一般財源]の関係（ちょうど千倍ちがいますが？）？）
から出しているのは確かなようです。
　Ｘ軸（横軸）を人口（ただし、人口100,000人のとき１となるように、100,000で割る）、
　Ｙ軸（縦軸）を人口×単位費用（ただし、人口100,000人（100,000×10,800）のとき１となるように、（100,000×10,800）で割る）
としてグラフを描くと、
　人口　　　Ｘ　　Ｙ
　100,000   1.0  1.0
　250,000   2.5  2.1
となり、傾きは
　(2.1-1.0)/(2.5-1.0) = 1.1/1.5 = 0.733...
となりますね。

また、少し見方を変えて、
　Ｘ軸を人口、
　Ｙ軸を人口×単位費用（ただし、人口100,000人（100,000×10,800）のとき 100,000となるように、10,800 で割る）
としてグラフを描くと、
　Ｘ(人口) 　Ｙ
　100,000 　100,000
　250,000 　210,000
となり、傾きはやはり 0.733... です。
計算式でいうと、下記の 分子／分母 が傾きです。
　分子＝(250,000×9,072 - 100,000×10,800) / 10,800
　分母＝(250,000 - 100,000)
この式を変形していくと、ご質問の式と同じものであることが分かると思います。


ところで後のほうのグラフ（Ｘが人口、Ｙが人口×単位費用／10,800）ですが、
　Ｘが、前の質問の回答３で説明した、「…率を用いないで算定した数値」、
　Ｙが、同じく「…率を用いて算定した数値」
に相当します。
つまり、ある人口に対して、グラフ上の１点が対応しますが、その点の(X,Y)を用いた Y/X 、
言い換えると、その点と原点(0,0)を結んだ直線の傾きが、
「・・・率を用いて算定した数値を・・・率を用いないで算定した数値で除して算定」した値、つまり「補正係数」となります。

ちなみに、「普通交付税に関する省令」別表第１の（２）市町村分／一　消防費 の数値を使ってグラフを描くと、下記の点を順に直線で結んだグラフになります。
　　　　Ｘ　　   　Ｙ　(参考：直前の点と結んだ線の傾き)
　　　　　0 　　2,920
　　　8,000 　 12,760　1.23
　　 12,000 　 17,840　1.27
　　 20,000 　 26,400　1.07
　　 30,000 　 37,700　1.13
　　100,000 　100,000　0.89
　　250,000 　209,500　0.73
　　400,000 　322,000　0.75
　1,000,000 　772,000　0.75
　2,000,000 1,522,000　0.75
　3,000,000 2,282,000　0.76


いかがでしょう？
わかりにくければ、補足に書いていただければ追加説明します。

段階補正率の算出方法

＞＞「測定単位の数値が○○に満たないもの」の部分では、表の数値 ＝ 1 － 傾き

No.1 です。

この回答への補足

前回のご質問：「補正係数と補正率は違う意味なのですか？」

この回答への補足

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