確率に関する疑問（大学以上対象）

簡単な質問かもしれないんですが、ちょっと直感とかけ離れてたので
質問しました。

まず言葉の用意をさせてもらいます。
(Ω,Γ,Ｐ)を確率空間、ここでΓはΩのσ-alg. Ｐは確率測度とします
・ＸがＳ値確率変数であるとは、
任意のＥ∈Ｂ(Ｓ)に対してＸ^(-1)(E)∈Γが成り立つこととします。
ここでＢ(Ｓ)とはＳのBorelsetとします
・確率変数Ｘ、Ｙが互いに独立であるとは、
Ｐ(X^(-1)(E))*Ｐ(Y^(-1)(F))=Ｐ(X^(-1)(E)∩Y^(-1)(F)）・・・☆
が任意のＥ、Ｆ∈Ｂ(Ｓ)に対して成り立つこと
この定義は普通の教科書で使われているのとは違うものを採用しましたが
文章が長くなるのを避けるため同値なものを採用しました

ここで質問なのですが
どうもこの独立の概念が直感とは違うような気がなりません
例えばサイコロの例を考えます
(1)Ｘを、偶数のとき１奇数のとき０の値をとる確率変数
Ｙを、3の倍数のとき１そうでないとき０の値をとる確率変数
とするとＸとＹは独立になります

(2)Ｘを、偶数のとき１奇数のとき０の値をとる確率変数
Ｙを、1が出たら１そうでないとき０とすると
E={0},F={1}とすると☆で
左辺＝Ｐ({1,3,5})Ｐ({1})＝3/36
右辺＝Ｐ({1,3,5}∩{1})＝1/36
より独立でない

(1)と(2)は対して違うとは思わないんですけど
どういう違いがあるんですか？

No.1 回答者： NyaoT1980 回答日時： 2001/11/30 18:07

確率は一応大学で勉強しているのですが、こういうことはやってません

でも、サイコロの例について思ったことを書いておきます。

（１）の場合
Xは｛２、４、６｝＝１　、　｛１、３、５｝＝０
Yは｛３、６｝＝１　、　｛１、２、４、５｝＝０
（２）の場合
Xは｛２、４、６｝＝１　、　｛１、３、５｝＝０
Yは｛１｝＝１、｛２、３、４、５、６｝＝０
です。
（２）について
Xの｛１、３、５｝にYの｛１｝という集合が含まれてしまうために独立でないのかなぁとおもいました。

でも、自信ないです。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2001/11/30 18:29

最初の方の難しい式は、要するに「両方が同時に生じる場合の確率が、それぞれの確率の積であれば、両者は独立」と言ってる。

まっとうです。

具体的には条件付き確率を考えれば良いんです。
　(1)の場合、「Yが成り立った時にXである確率」は1/2。これは単に「Xである確率」の値1/2と一致しています。だから独立。

　(2)の場合、「Yが成り立つ時にはXである確率」は1。これは「Xである確率」1/2と一致しません。だから独立じゃない。

No.3 回答者： nanjamonja 回答日時： 2001/11/30 20:37

直観的な見方だけで考えますと

（１）の場合
Xは｛２、４、６｝＝１　、　｛１、３、５｝＝０
Yは｛３、６｝＝１　、　｛１、２、４、５｝＝０
だからX＝1のときY=1となるのは｛６｝　　　　
　　　　　　　　Y=0となるのは｛２,４｝
　　　X＝0のときY=1となるのは｛３｝　　　　
　　　　　　　　Y=0となるのは｛１,５｝
でどちらの場合もY=1とY=0になる割合が同じ
（２）の場合
Xは｛２、４、６｝＝１　、　｛１、３、５｝＝０
Yは｛１｝＝１、｛２、３、４、５、６｝＝０
だからX＝1のときY=1となるのは｛　｝　　　　
　　　　　　　　Y=0となるのは｛２,４,６｝
　　　X＝0のときY=1となるのは｛１｝　　　　
　　　　　　　　Y=0となるのは｛３,５｝
でXの値でY=1とY=0になる割合が変わってしまう
この違いが独立であるかないかではないでしょうか？