簡単な質問かもしれないんですが、ちょっと直感とかけ離れてたので
質問しました。

まず言葉の用意をさせてもらいます。
(Ω,Γ,P)を確率空間、ここでΓはΩのσ-alg. Pは確率測度とします
・XがS値確率変数であるとは、
任意のE∈B(S)に対してX^(-1)(E)∈Γが成り立つこととします。
ここでB(S)とはSのBorelsetとします
・確率変数X、Yが互いに独立であるとは、
P(X^(-1)(E))*P(Y^(-1)(F))=P(X^(-1)(E)∩Y^(-1)(F))・・・☆
が任意のE、F∈B(S)に対して成り立つこと
この定義は普通の教科書で使われているのとは違うものを採用しましたが
文章が長くなるのを避けるため同値なものを採用しました

ここで質問なのですが
どうもこの独立の概念が直感とは違うような気がなりません
例えばサイコロの例を考えます
(1)Xを、偶数のとき1奇数のとき0の値をとる確率変数
Yを、3の倍数のとき1そうでないとき0の値をとる確率変数
とするとXとYは独立になります

(2)Xを、偶数のとき1奇数のとき0の値をとる確率変数
Yを、1が出たら1そうでないとき0とすると
E={0},F={1}とすると☆で
左辺=P({1,3,5})P({1})=3/36
右辺=P({1,3,5}∩{1})=1/36
より独立でない

(1)と(2)は対して違うとは思わないんですけど
どういう違いがあるんですか?

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A 回答 (3件)

直観的な見方だけで考えますと


(1)の場合
Xは{2、4、6}=1 、 {1、3、5}=0
Yは{3、6}=1 、 {1、2、4、5}=0
だからX=1のときY=1となるのは{6}    
        Y=0となるのは{2,4}
   X=0のときY=1となるのは{3}    
        Y=0となるのは{1,5}
でどちらの場合もY=1とY=0になる割合が同じ
(2)の場合
Xは{2、4、6}=1 、 {1、3、5}=0
Yは{1}=1、{2、3、4、5、6}=0
だからX=1のときY=1となるのは{ }    
        Y=0となるのは{2,4,6}
   X=0のときY=1となるのは{1}    
        Y=0となるのは{3,5}
でXの値でY=1とY=0になる割合が変わってしまう
この違いが独立であるかないかではないでしょうか?        
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最初の方の難しい式は、要するに「両方が同時に生じる場合の確率が、それぞれの確率の積であれば、両者は独立」と言ってる。

まっとうです。

具体的には条件付き確率を考えれば良いんです。
 (1)の場合、「Yが成り立った時にXである確率」は1/2。これは単に「Xである確率」の値1/2と一致しています。だから独立。

 (2)の場合、「Yが成り立つ時にはXである確率」は1。これは「Xである確率」1/2と一致しません。だから独立じゃない。
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確率は一応大学で勉強しているのですが、こういうことはやってません


でも、サイコロの例について思ったことを書いておきます。

(1)の場合
Xは{2、4、6}=1 、 {1、3、5}=0
Yは{3、6}=1 、 {1、2、4、5}=0
(2)の場合
Xは{2、4、6}=1 、 {1、3、5}=0
Yは{1}=1、{2、3、4、5、6}=0
です。
(2)について
Xの{1、3、5}にYの{1}という集合が含まれてしまうために独立でないのかなぁとおもいました。

でも、自信ないです。
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Aベストアンサー

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
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ということで、コンビネーションの計算がグループを区別している原因なのではなく、(コンビネーションで)取り出した人のグループを並べたという順列の行為(場合の数を掛け合わせたという計算)が区別の原因です。

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分...続きを読む

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双対基底とは
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という集合(これをV*と置く)において、
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{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
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Aベストアンサー

質問者さんの言われるのは順列です。
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Aベストアンサー

P(…) てのは、「…である確率」を表しているのかな?
Px( ) や Py( ) と、ずいぶん紛らわしいけど。
とりあえず、「…である確率」のことは Prob[…] と書いてみる。

Py(y) = Prob[Y∈y] は大間違いで、
Y の累積分布関数が Prob[Y≦y] だから
Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] となる。

Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] = (d/dy)Prob[a|X|≦y] = (d/dy)Prob[|X|≦y/a]
= (d/dy){ Prob[X≦y/a] - Prob[X<-y/a] }
= (d/du)Prob[X≦u]・(1/a) - (d/dv)Prob[X<v] }・(-1/a)  ; u = -v = y/a と置いた
= { Px(u) + Px(v) }・(1/a)
= Px(y/a)・(2/a)  ; Px(x)が偶関数なので、Px(u) = Px(v)

もちろん、
これは y ≧ 0 での話で、y < 0 では Py(y) = 0 でなければならないし、
Prob[X≦x] = Prob[X<x] がなりたたないような確率分布では、話が違ってくる。

P(…) てのは、「…である確率」を表しているのかな?
Px( ) や Py( ) と、ずいぶん紛らわしいけど。
とりあえず、「…である確率」のことは Prob[…] と書いてみる。

Py(y) = Prob[Y∈y] は大間違いで、
Y の累積分布関数が Prob[Y≦y] だから
Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] となる。

Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] = (d/dy)Prob[a|X|≦y] = (d/dy)Prob[|X|≦y/a]
= (d/dy){ Prob[X≦y/a] - Prob[X<-y/a] }
= (d/du)Prob[X≦u]・(1/a) - (d/dv)Prob[X<v] }・(-1/a)  ; u = -v = y/a と置いた
= { Px(u) + Px(v) }・(...続きを読む

Q数学 確率の問題

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お願いします。

Aベストアンサー

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(イ)「8」「6」「10」が裏、「4」「2」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
求める確率は以上の合計=(1/2)+8*(1/2)^5=24/32=3/4・・・答え

Qx^2+y^2=4{(x-9)^2+y^2}

x^2+y^2=4{(x-9)^2+y^2}
これを整理すると
x^2+y^2-24x+108=0
だそうです。
何回やってもこの整理された答えにならないので、途中の詳しい流れを教えてください。

蛇足かもしれませんが、二点間の距離の比の軌跡を求める問題のとある部分です。

Aベストアンサー

「何回やってもこの整理された答えにならない」というのなら,その自分でやったのを開示してどこが間違っているかを聞くのが,こういうところでの作法です。


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