f(x)=e exp|x|
うまくかけませんでしたがeの絶対値のx乗の複素フーリエ級数の答えをお願いします。自分で解いてみるとeのπ乗がうまくΣの前にでません。

A 回答 (1件)

f(x) = exp(|x|)


の複素フーリエ級数を求めたいというご質問でしょうか。
xが複素数なのか実数なのか、そこがはっきりしませんけど、
f(x) = exp(|x|)
はどのみち実数値関数で、しかも偶関数です。
フーリエ級数を考える以上、xの変域が指定されているか、あるいは周期関数になっているのでなくてはおかしいですね。
そこで、たとえばxは実数で、f(x)は -π≦x<πで定義されている、ということにしてみましょう。

すると、複素フーリエ級数
f(x) = ΣF[n]exp(inx)  (Σはn=-∞~∞)
において、
・f(x)は偶関数だからF[n]は実数。
・f(x)は実数値関数だからF[-n] はF[n]の複素共役。
∴F[n]は実数で、F[-n]=F[n]である。
ということが直ちにわかります。

具体的にやってみますと、
F[n]= (1/π)∫f(x) exp(-inx) dx (積分は-π~π)
= ∫f(x) cos(nx) dx + i ∫f(x) sin(nx) dx  (積分は-π~π)
というわけですが、f(x), cos(nx)は偶関数、sin(nx)は奇関数なので第二項は0であり、
F[n]= ∫f(x) cos(nx) dx  (積分は-π~π)
ここでf(x) cos(nx)は偶関数だから、
F[n]= 2∫f(x) cos(nx) dx (積分は0~π)
= 2 ∫exp(x) cos(nx) dx (積分は0~π)
となります。
この計算なら簡単でしょう?公式集にも載ってる筈です。

定数exp(π)が現れますが、それが直ちにΣの外に括り出せる訳ではありません。というのはnが奇数か偶数かによってF[n]に因子(-exp(π)-1)か(exp(π)-1)が現れるからです。しかしこの定数exp(π)が括り出せなくても何の不都合もないと思いますが?
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Q微分方程式をフーリエ級数で解く

y’+y=xのような微分方程式もフーリエ級数を使えば解くことができますか?
できたら、その詳細を教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

これはフーリエ級数を使って解くことができますね。でも、どんな微分方程式でも無制限に解けるわけではありません。連続性や収束性などの込み入った議論が必要です。このことについては、サイトではなく、専門書を購入して、じっくり学ぶ必要があります。

y’+y=xを解くだけなら、無理してフーリエ級数を使う必要もありませんね。しかし、強いてフーリエ級数を使うとなれば、解をy=Σ{a_kSsin(kx)+b_kCos(kx)}と仮定してa_kとb_kを求めればよいわけです。基本的な考え方はべき級数解法と同じです。しかし、a_kとb_kを求めるのに三角関数の直交性を使う必要があります。

Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

Q二階偏微分方程式

今、偏微分方程式の勉強をしているのですが、なかなか頭に入りません。二階偏微分方程式(たとえば拡散方程式や波動方程式)の解法として、変数分離法やフーリエ級数展開などがありますが、ほかにどのようなものがあるでしょうか。またどのような場合にどの解法を採用すべきかということに関する助言もお願いします。どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答が大変遅くなってしまい申し訳ありません。
積分因数は,かけることで方程式を完全微分形に変形できるような因数です。

詳しくは,たとえば下記のサイトなどをご覧下さい。

積分因数について:
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/Math/TeXT/node24.html

一般的な解法:
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/Math/TeXT/node1.html

Q複素フーリエ級数を求めよ、と

複素フーリエ級数を求めよ、と
複素フーリエ級数展開を求めよ の違いが最近分からなくなりました。

f(x) = ○○ と与えれた場合、(例えば sinx)
それを

Cn = C0 + Σ △△ の形に変形するのが
複素フーリエ級数を求めた形になるのでしょうか?

ならば複素フーリエ級数展開は…?とこんがらがっています。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

周期関数f(x)(基本周期T)が与えられたとき
f(x)=Σ[n=-∞→∞] C[n]e^(inx/T) …(1)
ただし、C[n]=(1/T)∫[0→T]f(t)e^(-inx/T)dx
の級数形式にf(x)を変換することを複素フーリエ級数展開といい、
(1)の右辺の展開された級数の形式を複素フーリエ級数(または複素級数展開式)という。式の中の[n]は下付き文字を表すものとします。

はっきり区別して使わない場合もありますが、
級数の形式を単に(一般的に)級数と呼び、
関数f(x)を級数の形の式に変換(展開)することを級数展開と呼び、
f(x)を展開した級数の形の式を級数展開式と呼んで、
展開前のf(x)と区別します。
まえに「複素フーリエ」とつければ、複素フーリエ級数とか、複素フーリエ級数展開式となりますね。
この呼称のを式を取り除いて、複素フーリエ級数展開を両方の意味で使っている場合も見られます。

Q絶対値つき方程式 |2|2x-1|-1|=x-1/3 をとけ。

絶対値つき方程式 |2|2x-1|-1|=x-1/3 をとけ。

この問題をグラフで考えて解いたのですが、解答は2|2x-1|-1=±(x-1/3)として
(1)2|2x-1|-1=x-1/3を解いて、x=8/9,4/15
(2)2|2x-1|-1=-x+1/3を解いて、x=2/3,2/9
よって、解はx=8/9,2/3と結論づけているのですが、どうしてそういえるのでしょうか。
また、解答は(1)を解く際に、|2x-1|=a とおいて、x=(1+a)/2,(1-a)/2だから、
(1)の解はx=8/9,4/15 と結論づけています。面倒な解答だと思い、(1)を解く時の方法として、他にどのような方法をとれるのか。

Aベストアンサー

単純に4つに場合分けしたほうが簡単では?

(1) 2x-1≧0、2(2x-1)-1≧0 のとき、2(2x-1)-1=x-1/3
(2) 2x-1≧0、2(2x-1)-1<0 のとき、-(2(2x-1)-1)=x-1/3
(3) 2x-1<0、-2(2x-1)-1≧0 のとき、-2(2x-1)-1=x-1/3
(4) 2x-1<0、-2(2x-1)-1<0 のとき、-(-2(2x-1)-1)=x-1/3

これを整理すれば、

(1) x≧1/2、x≧3/4 のとき、x=8/9
(2) x≧1/2、x<3/4 のとき、x=2/3
(3) x<1/2、x≦1/4 のとき、x=4/15
(4) x<1/2、x>1/4 のとき、x=2/9

この中で条件に合うのは、x=8/9とx=2/3だけです。

Qフーリエ級数とフーリエ変換

大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに
「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。
そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか?
自分なりに調べてみて、

・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。
・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が0になる。

これって正しいですか?(数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません)

Aベストアンサー

似たような用語で「フーリエ展開」も有ります。
フーリエ変換とかフーリエ展開は、歪んだ波からフーリエ級数を求める事を言います。つまり、フーリエ変換やフーリエ展開は操作(動詞or動名詞)、フーリエ級数はその結果を言うわけです。

一方、工学の世界では、複雑な波を、周波数別に分離する手段としてフーリエを使います。どちらかと言うと位相は気にせずに周波数とその強さだけを気にします。
このときも、フーリエ変換とかフーリエ展開といっていると思います。
よく、アンプの特性グラフなどで、縦軸:振幅、横軸:周波数と言うのを見ます。
波の分析で「スペクトラムアナライザ」というのを使いますが、これなど、まさに周波数とその強さだけを、ブラウン管上に表示するものです。

Q絶対値つき方程式 |2x^2+2ax-1|=|x^2-1| の解の個数

絶対値つき方程式 |2x^2+2ax-1|=|x^2-1| の解の個数を求めよ。

解答は、2x^2+2ax-1=±(x^2-1)と絶対値をはずして、a={±(x^2-1)-2x^2+1}/(2x)として、
グラフの交点の数が、解の個数になるという解法でしたが、1つ分からないのは、絶対値をはずすとき
は、絶対値の中がプラスなのかマイナスなのかの条件がつくはずだと思うのですが、また、これによって
xの範囲の条件が付くのでこれに伴いグラフもかわってくると思います。解答ではそこのところについてふれられていないので、絶対値をはずすときの条件はいらないのか、もしいらないとしたら、どうしてグラフに影響しないのか教えてください。
もう少し、具体的に言うと、2x^2+2ax-1=±(x^2-1) となるのは、(2x^2+2ax-1>=0,x^2-1>=0)または、(2x^2+2ax-1=<0,x^2-1=<0)の条件が付き、このもとでのグラフをかかなければならないと思うのですが・・。よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

>絶対値をはずすときは、絶対値の中がプラスなのかマイナスなのかの条件がつくはずだと思うのですが

簡単のために、2x^2+2ax-1=mとしよう。
そうすると問題は、|m|=|x^2-1| となる。

君の言うように処理してみよう。

(1) m≧0の時、m=|x^2-1| から、m=x^2-1、or、1-x^2
(2) m≦0の時、-m=|x^2-1| から、-m=x^2-1、or、1-x^2 つまり、m=1-x^2、x^2-1。
となって、m≧0とm≦0の場合わけは、不要になる。
つまり、解答にあるように、初めから m=±(x^2-1)で良いという事になる。

Qフーリエ級数

 私は、現在フーリエ級数について学習中ですが、現在ではのこぎり波(三角波)を用いたフーリエ級数の求め方に悪戦苦闘しています。この場合は短形波を用いたフーリエ級数と同じようにフーリエ係数(An, Bn)を使って解くのでしょうか?
説明不足かもしれませんが、どなたかよろしくお願いします。
ちなみに、参考文献はありますか?

Aベストアンサー

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、計算が楽にできます。

 のこぎり波の式を
  g(x)=x  (-π<x<π)
とおきますと、フーリエ係数は、
  An=(1/π) ∫x cos(nx)dx=0
  Bn=(1/π) ∫x sin(nx)dx
   =(2/π) ∫x sin(nx)dx   (ここだけ積分区間は 0→π)
   =(-1)^(n+1) 2/n
と求められますので、展開式は次のようになります。
  g(x)=2{ sin(x)-(1/2)sin(2x)+(1/3)sin(3x)-・・・)

 
 フーリエ係数の求め方については、多くのサイトで解説されていますので、「フーリエ級数展開、フーリエ係数」などの用語で検索されるとよいと思います。

 矩形波では、矩形波を
  f(x)=0 (-π<x<0)
    =1 (0<x<π)
として、フーリエ係数を次のように求めたことと思います。(積分区間はすべて -π→π とします。)
  a0=1/(2π)∫f(x)dx =1/2
  An=1/π ∫f(x)cos(nx)dx=0
  Bn=1/π ∫f(x)sin(nx)dx=2/(nπ) (n:odd), 0 (n:even)
 ∴f(x)=1/2+2/π {sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+・・・)

 のこぎり波でも、定義どおりに同様に求めることができ、こちらの方が奇関数ですから、フーリエ余弦係数が0になりますので、...続きを読む

Q|x-1|+|x|+|x+1|<6を解いたら

|x-1|+|x|+|x+1|<6を解いたら

-2<x<2になりました

誰かといてこたえを教えてください

Aベストアンサー

それでいい。
こゆのは、場合分けして絶対値の無い式にする。

|x-1| + |x| + |x+1| < 6

⇔( x < -1 かつ -(x-1) -(x) -(x+1) < 6 )または
 ( -1 ≦ x < 0 かつ -(x-1) -(x) +(x+1) < 6 )または
 ( 0 ≦ x < 1 かつ -(x-1) +(x) +(x+1) < 6 )または
 ( 1 ≦ x かつ +(x-1) +(x) +(x+1) < 6 )

⇔( x < -1 かつ x > -2 )または
 ( -1 ≦ x < 0 かつ x > -4 )または
 ( 0 ≦ x < 1 かつ x < 4 )または
 ( 1 ≦ x かつ x < 2 )

⇔( -2 < x < -1 )または
 ( -1 ≦ x < 0 )または
 ( 0 ≦ x < 1 )または
 ( 1 ≦ x < 2 )

⇔ -2 < x < 2


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