No.3ベストアンサー
- 回答日時:
二重根号のはずしかたは
√{(a+b)-2√(ab)}=√a-√b(ただしa>b)を使います。
これは、(√a-√b)^2=a+b-2√(ab) で両辺の平方根を考え
て出てきます。
√(14-5√3) を√{(a+b)-2√(ab)} の形にするため、次の
ような変形をします。
全体を2倍して2で割る
√{(28-10√3)/2}
10=2×5だから、5を2乗して√3の中に入れる(25×3をする)
また、分子と分母をそれぞれ√(20-2√75)と√2に分ける
√{(28-2√75)/2}=√(20-2√75)/√2
20-2√75は先ほどの√の中の(a+b)-2√(ab)のことなので
a+bが20で、a×bが75となる数a,b(ただしa>b)を
求める。→a=25,b=3。
ここで、最初にあげた公式を使うと、分子は√25-√3=5-√3と
外側の√がなくなり、式は
(5-√3)/√2
あとは分子・分母に√2をかけて分母の有理化をすれば
答えの式が得られます。
この回答への補足
ありがとうございました。
debutさんの解説をたどり、無事答えが出せました。
ところで、√の前の係数は何故「2」なのでしょうか?公式に入れれば、答えは出ますが、気になったものですから。ここまで教えていただいて、また質問というのも気がひけますが、よろしければ教えてください。
No.7
- 回答日時:
係数が2になる理由について
公式は以下のとおりです
√(a+b)+2√ab=√a+√b・・・・(1)
証明。
左辺の√の中身を変形する
その前に・・・目的は、この左辺のルートの中身を2乗の形にすること。なぜなら、ルートの中身が2乗ならルートが外れるからです。
2乗の形で有名なのが、
(x+y)^2=x^2 + 2xy + y^2 (^2は2乗の意味)
です。この、xyの係数が2であることに関係しています。
では、証明していきます。
√a=A
と置くと、
a=A^2
とかけます、(bについても同様の変換をする)
(a+b)+2√ab
=A^2+B^2+2AB
=A^2+2AB+B^2
=(A+B)^2
となります。
つまり
√(a+b)+2√ab
=√(A+B)^2
=A+B
=√a+√b
と公式を導けます。
これで、係数が2になる理由がわかりますか?
あけましておめでとうございます!
数学で年を越してしまいました。今後もご指導・ご指摘宜しくお願い致しますm(__)m
√a=Aと置くと、すっきりして解り易いですね。
解説ありがとうございました。
No.6
- 回答日時:
No3です。
>√の前の係数は何故「2」なのでしょうか?
これは(√a-√b)^2=(√a-√b)(√a-√b)
=(√a)^2-√a√b-√a√b+(√b)^2
=a-√(ab)-√(ab)+b
=a+b-2√(ab)
からきています。
したがって、二重根号をはずすときは√の中の√の前の係数は必ず2
でなければならないので、2でないときは2になるように変形しなけ
ればなりません。
例 √(11-6√2)=√{11-2√(3^2×2)}
=√(11-2√18)
=√{(9+2)-2√(9×2)}
=√9-√2
=3-√2
あけましておめでとうございます!
今年もご指導の方、宜しくお願い致しますm(__)m
なるほどです。
例題を見て納得致しました。
いつも親切丁寧な回答をありがとうございます。
No.5
- 回答日時:
二重根号を公式として覚えていたら、このような問題を解くのは難しく感じます。
まずは、「2重根号」の公式を導き理解してください。
そうすれば、√の中の√の係数をなぜ「2」にする必要があるのか、
そして、この問題の解として
(√25-√3)/√2
なのか
(√3-√25)/√2
のどっちなのかも、わかると思います。
そんなに、時間はかからないと思います。やってみてください、理解できたら、どんな2重根号の問題でも解けるようになります。
「理解」ですよね~。
本当、理解したいです。今までは、とりあえず公式に放り込んでどうにか答えを出してきた次第です。だから、長い間数学から離れていると、公式を忘れて解けなくなるんですよね。
アドバイスありがとうございます。
PS.係数はなぜ「2」にする必要があるんでしょうね?考えたこともなかったです。
No.4
- 回答日時:
もうすぐ、年も明けますね。
勉強ご苦労様です。頑張って下さい。ところで、2重根号の公式は知っていますね。でも、公式を忘れても、自分で、すぐに導けるようにしておきましょう。√{a+b-2√(ab)}=√a-√b ただし、a>=b>=0
です。√(ab)に2が掛けてあるとことが、ポイントです。
√(14-5√3)
=√{(28-10√3)/2}
=√{(28-2√75)2}
=(√25-√3)/√2
ここまでとしておきます。このあとは、自分で考えてくだい。
励ましのお言葉ありがとうございます。
今年は問題を解いている内に年越ししそうです。
(ちょっと悲しい・・・。)
二重根号ですか?すみません。皆様が教えて下さるまで、きれいさっぱり忘れていました!
ojisan7さんも、良いお年をお迎え下さい♪
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