【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

こんばんは!大学一年のものです。
いつもお世話になっています。
力学の問題の途中部分なんですがなんですが、
いきづまって考えていたら、混乱してしまいました…

剛体の重心G、剛体と斜面の接点Pとしたとき、
接点Pから見た剛体の相対速度Vpは
Vp=Vgy+d/dt(ベクトルGP)
となるはずなんですが、(yは基本ベクトル)
(1)d/dt(ベクトルGP)はそれぞれ何を表しているんですか??
(2)重心速度についてなんですが、これは剛体自体の速度とは違うんですか??(重心速度というのがイメージできません)
質点系の運動の場合はなんとなくイメージできるのですが…
(3)『滑る』という言葉がいまいちうまく解釈できないんですが、どう考えればよいですか??
たくさん質問してしまって申し訳ないんですが、
お時間ありましたらご回答よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

> 図書館で借りた参考書にも球のとこは半径a


> を用いていたんですが...
その参考書を見てないので分かりませんが、次のようなことではないかと思います。
重心は球の中心に一致するためベクトルGPは常に斜面の法線方向を向いています。大きさは半径aです。
そこでPの法線成分をPy, Gの法線成分をGyとすれば
dPy/dt = dGy/dt + da/dt
が成り立ちます。

しかし、dPy/dt=dGy/dt=0なのは直感的に明らかなのでこの式に意味があるのか分かりません。
私は、NASONさんが書かれた式のVgyが何を指しているのか分からなかったので、
先の回答では勝手にVgy=dG/dtと考えましたが、私の見当違いかもしれません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
よく理解できました。
先程の補足で書き忘れてしまいました…
スイマセン!
Vgyは斜面方向をy軸、斜面に垂直方向をx軸とする。
そして、y軸の基本ベクトルをyとした時、重心の速度はvgyと表したのだと思います。(図の重心Gの点のところから、斜面に平行に矢印でVgと書いてあります。)

お礼日時:2006/01/09 21:39

(1)に関して


問題設定がよく分からないので、適当に意味を推測します(まったく見当違いの回答かもしれません)。
重心の位置ベクトルをG,接点の位置ベクトルをPとして,重心からの接点の位置をGP=P-Gとすれば,
P = G + GP
dP/dt = dG/dt + dGP/dt
となることから、
Vp=dP/dt, Vgy=dG/dt, d/dt(ベクトルGP)=dGP/dt
の事だと考えると、d/dt(ベクトルGP)は重心から接点へのベクトルの時間変化率ですので、私はこれが"接点Pから見た剛体(重心)の相対速度"だと思います。
例えば球の場合は,GPの大きさは半径ですからd/dt(ベクトルGP)=0となって、接点速度と重心速度が一致する事が分かります。

(2)に関して、
重心速度は、私たちが直感的に物体の速度だと思うものを厳密に定義しただけだと思っていいと思います。
剛体は"互いの相対位置が固定された質点の集まり"と定義されていたと思います。そして、その重心の運動は、全質量が重心に集まったと考えて、質点系の力学で解くことができます。つまり、剛体を構成する質点一つ一つの運動を考える事は難しくても、重心の運動は簡単に解けるので、これを通じて剛体自体の運動をある程度予測しようということです。ただし、剛体は回転もしますから、この事も考えて重心位置と回転角を解くことで剛体の運動を決定できます。そして、重心位置と回転角は重心速度と回転速度を時間で積分することで求まります。重心速度と剛体の移動速度が同じかどうかは定義の問題なのでなんとも言えませんが、剛体の運動を知るために重心速度を考えると便利だということです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
(1)も(2)もほぼ完全に理解できました。
ほんとにありがとうございます。
ただあと一つ分からないのですが、剛体の場合、接点Pが移動するからGPは大きさでなく、方向も考慮してベクトルGPとするわけですよね?
となると、図書館で借りた参考書にも球のとこは半径a
を用いていたんですが、こちらも運動すると、接点pが移動しますよね?
となるとなぜこちらはベクトル表記しなくてもよいんですか??
何度も補足してホントに申し訳ないんですが、よろしければご回答よろしくお願いします。

補足日時:2006/01/09 13:44
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Pって接点ですか?


ということは剛体の運動とともにPは移動?
それが不明なので(1)はパス

(2)剛体は、全体的に移動してますし、回転もしています。「剛体自体の運動」って移動のことですか? 回転のことですか?

(3)剛体が回転した分だけ落ちているということです。
剛体が回転せずに斜面を下りる情景を思い浮かべてください。あるいは、剛体が移動せずに回転している状態。この2つが「滑る」ということです。
直径1[m]のタイヤ一周にペンキを塗ってπ[m]車を走らせた時に、滑ってないならちょうどタイヤが一周しているということ。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
(1)>(剛体の運動とともにPは移動?
  Pは接点なんで、回転すれば移動します。)
あれから参考書などでもう一度調べ直したら、『剛体の接するところにおける回転のための速度』記述があったんですが、こっちは、ベクトルGPでなく半径aとなっていました。
もし、『剛体の接するところにおける回転のための速度』であってたとすると、回転の速度ってなんですか?
(2)剛体って回転しているんですか!
間違って解釈していました…
とすると、お聞きしたことも間違っていますね!
申し訳ございません!
ただしくは、剛体自体は全体的に移動しているし、回転しているが重心速度とは、剛体の移動速度と=になるのでしょうか?
(3)とても理解できました。
滑るという言葉がよく理解できていませんでしたので、助かりました。
もしよろしければ(1)、(2)でもう一度回答いただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

補足日時:2006/01/09 09:16
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Q斜面を円柱が転がる問題について質問です!

斜面を円柱が転がる問題で、円柱が滑らず転がる場合の静止摩擦係数を求めよと言われたら、普通に
MgsinθがμMgcosθより大きい時でいいんでしょうか?
 それとも角加速度などを考えないといけないんでしょうか?

ちなみに

円柱を考える場合は、摩擦が無い→滑る
          摩擦がある→摩擦係数がある値を超えると転がり、それより小さい場合は滑る

といった感じで解釈していいんでしょうか?

Aベストアンサー

円柱が転がる場合には、ご自分で気付いている通り
角加速度が関わってきますので、
回転運動の方程式を考えなければなりません。

並進運動の方程式 Ma=Mg sinθ - f
回転運動の方程式 Iω'=f r
を考えます。
ここで、fは円柱が受ける摩擦力、rは円柱の半径です。
Iは円柱の慣性モーメントで、この円柱の場合はMr^2/2となります。

転がる場合には、
a=rω'
すべる場合には
a>rω'
という条件を考えてやれば、
結果的に、転がる場合の静止摩擦係数を導くことができます。

たぶんμ>1/3tanθになる…と思います。

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[並進運動]
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[回転運動]
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この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
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回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

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Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
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球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

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あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Qころがり摩擦と静止摩擦係数の関係

円形のもの(タイヤ、球)を斜面でころがしたり、
軸につなげて駆動させたりすると、
物体には、静止摩擦より低い転がり摩擦が
働くのですが、物体をころがすだけで
静止摩擦より低い抵抗で済む理由が分かりません。
回転体を転がすと接触面に回転体の重さがかかるため、
接触面に対しても静止(動)摩擦がかかり、回転するにつれ、
次々と移り変わっていくはずなのに静止摩擦(動でも)より
低くなる仕組みを知りたいと思っています。

Aベストアンサー

「静止摩擦力」「動止摩擦力」「転がり摩擦力」についてざっとお浚いしましょう。

摩擦力は、2つの物体が接触していて、互いに向きの違う方向に力が働いたときに摩擦力が発生します。 接触面の破壊とか変形により生じると考えられています。

静止摩擦力:2つの物体の接触面が移動していない状態で、値は、0から動きだす直前の最大静止摩擦力までです。

動摩擦力:2つの物体の接触面が移動している状態で、一定条件下では一定の値を示し、通常は、最大静止摩擦力より小さい値です。

転がり摩擦力:2つの物体の接触面が転がりながら移動している状態でその瞬間の接触面には滑りは発生していなくて、静止摩擦力が働く。 接触面の横方向の力が働くのではなく、縦方向の接触面の破壊とか変形、回転体を回転させるに必要な力などにより生じ、その性質上通常は、最大静止摩擦力の数10分の1程度と云われています。

>接触面に対しても静止(動)摩擦がかかり、回転するにつれ、次々と移り変わっていくはずなのに静止摩擦(動でも)より低くなる

最後の「静止摩擦(動でも)より低くなる」というくだりが、間違っています。

「静止摩擦」力は上記のように、「0~最大静止摩擦力」までの値 (その時の条件による)を取ります。
静止面の接触面の静止摩擦力と回転体の接触面の静止摩擦力とは同じもの (当然等しい) なので比較することは無意味です。 

一般に思われているのは、同じ物体同士の「最大静止摩擦力と転がり摩擦力との比較」であってこの場合は、転がり摩擦力の方がはるかに小さい値となります。 

「静止摩擦力」「動止摩擦力」「転がり摩擦力」についてざっとお浚いしましょう。

摩擦力は、2つの物体が接触していて、互いに向きの違う方向に力が働いたときに摩擦力が発生します。 接触面の破壊とか変形により生じると考えられています。

静止摩擦力:2つの物体の接触面が移動していない状態で、値は、0から動きだす直前の最大静止摩擦力までです。

動摩擦力:2つの物体の接触面が移動している状態で、一定条件下では一定の値を示し、通常は、最大静止摩擦力より小さい値です。

転がり摩擦力...続きを読む

Q棒へ玉が衝突する問題。この他の解答方法はありますで

シンプルな問題なのですが、正しく解く方法をどうか教えて下さい。
図のように長さ1mの棒がその中心で回転できるようになっております。今、玉が速さ10 m/sで棒の上端に衝突します。
衝突直後、玉は棒と離れません(くっつきます)。この際、
1) 衝突前の玉の運動量を求めよ。
2) 力積と運動量の法則をもちいて、衝突直後の棒の角速度を求めよ。

というものです。
1)はシンプルに、10 m/s x 0.1 kg = 1 と求まります。
2)の「力積と運動量の法則をもちいて」がどういうことを意図しているのかが、わからずにおります。
シンプルに角運動量保存の法則から、

衝突前の角運動量 (棒の中心を軸と考えた場合の玉の角運動量) = 0.1 kg x (0.5m)^2 x (10 m/s) / (0.5 m) = 0.5
衝突後の角運動量 = (棒の慣性モーメント + 玉の慣性モーメント ) x 求める角速度 = ((1kg x 1m x 1/12) + 0.1 kg x (0.5m)^2)) x ω
= 0.108 ω

ω = 4.615 rad/s
と解答しては駄目なのでしょうか。
他に、力積や運動量に関わる法則を用いて解く方法があるのでしょうか。

それとも、角運動量保存の法則は、力積、運動量に関わる法則の一つとして考えればいいだけのことなのでしょうか。

1)と2)の問題の相関性がないために、悩んでおります。
もしかしたら、角運動量保存の法則を使う以外の別の方法があるのではと考えており、
アドバイスを頂きたく質問投稿させて頂きました。

どうかよろしくお願いします。

シンプルな問題なのですが、正しく解く方法をどうか教えて下さい。
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というものです。
1)はシンプルに、10 m/s x 0.1 kg = 1 と求まります。
2)の「力積と運動量の法則をもちいて」がどういうことを意図しているのかが、わからずに...続きを読む

Aベストアンサー

並進運動の方程式 ⇔ 運動量-力積関係
回転運動の方程式 ⇔ 角運動量-角力積関係

という対応があることはご存知と思います。剛体の回転運動の方程式は,並進運動の方程式の質点集合系への拡張であることもおわかりでしょう? 単に質点の場合は,
角運動量=位置ベクトル×運動量
角力積=位置ベクトル×力
  (×はベクトル積)
です。(1)と(2)の対応は,この点のみにあります。

もちろん,(2)の「力積と運動量の法則」とは,運動量-力積関係を回転運動に拡張した,角運動量-角力積関係の意味にとるべきでしょう。

Q実在気体のジュールトムソン係数の導出

ジュールトムソン係数は一般に
μ={T(∂V/∂T)_p - V}/Cp
と書けるので、ファンデルワールスの状態方程式の両辺をpを一定にしてTで微分し、整理することで、
(∂V/∂T)_p={R(V-b)V^3}/{RTV^3 - 2a(V-b)^2} ・・・(1)
を得る。
_pはpを一定ということです。

次からが分からない部分です。
b/V <<1, 2a/RTV <<1 のとき(1)は
(∂V/∂T)_p/V≒(1/T)+{(2a/RT)-b}/VT
となるらしいのですがここの変形が分かりません。

どなたか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

>(∂V/∂T)_p={R(V-b)V^3}/{RTV^3 - 2a(V-b)^2} ・・・(1)

これから分母のRTV^3を括弧の外に出して

(∂V/∂T)_p
={R(V-b)V^3}/(RTV^3){1 - 2a(V-b)^2/RTV^3}
={(V/T)(1-b/V)} / {1 - (2a/RTV)(1-b/V)^2}

一次までの近似を取ると,(1+x)^a~1+axの公式(テーラー展開の一次)を使い,分母の(1-b/V)^2は1以外は(2a/RTV)との積で2次以上になることを考慮すると

(∂V/∂T)_p~{(V/T)(1-b/V)} × {1 + (2a/RTV)}

さらに(b/V)(2a/RTV)が二次の微少量になるので落として1次までの近似にすると

(∂V/∂T)_p~(V/T){1 + (2a/RTV) -(b/V)}

以下,簡単な変形です.

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q解析力学で困ってます

非保存力の働く場合のラグランジュ方程式に出てくる一般化力って何ですか?

イメージの湧きやすいようにお願いします。

Aベストアンサー

>解析力学でもハミルトンの原理までは意味が分かったんですが、ラグランジュ方程式の意味が分からないんです。

もう既にお気づきかもしれませんが、#1のURLの親元URLから「変分原理とEuler-Lagrangeの方程式」の項を見てください。おそらくご質問の答えが見つかると思います。

参考URL:http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/C-Mechanics.html

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q「エネルギー積分を使って導け」とのことなんですが・・・

私は物理学に関しては初心者なので、稚拙な表現については多少目をつぶっていただければ光栄です。



鉛直上向きのZ軸を考える一次元運動で、静止からの落下について考える。
質量がmの質点を、t=0で高さZ=hの場所に静止させてから静かに落下させる。
・・・・・・といった条件のもとで、最終的には質点のもつエネルギーについて、運動エネルギーをTとして以下のような式となるそうです。

   T + mgZ = T。 + mgZ。 = 0 + mgh = E

 これを「エネルギー積分」を使って導け、というものなのですが、
 いったいどのようにすればよいのでしょう。
 理化学辞典や物理学の辞典で「エネルギー積分」という言葉について は調べましたが、そのような単語は載っていませんでした。ますます 謎は深まるばかりです。

 どのような式を立てればいいのかが全くわかりません。
 どなたか、模範的な解答あるいは解説をよろしくお願いいたします。 

Aベストアンサー

「エネルギー積分」について説明します。力学でエネルギー積分の導き方は定石があります。たとえば、運動方程式が、
m(d^2/dt^2)z=f
であるとき、この式の両辺にdz/dtを掛けると、
1/2*m*d/dt(dz/dt)^2=fdz/dt
という式が導かれるはずです。この両辺を変数tで積分したとき、左辺はTになりますね。そして、積分定数をEとします。これがエネルギー積分というものです。

以上のことを参考にして、質問された問題について、ご自分で計算してみて下さい。


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