重要なお知らせ

「教えて! goo」は2025年9月17日(水)をもちまして、サービスを終了いたします。詳細はこちら>

電子書籍の厳選無料作品が豊富!

I=(1/2Π)∫[-∞,∞][(x-ξ)/{(x-ξ)^2+h^2*n^2}]dξという
問題なのですが、n,h,xは定数として扱っていいと思います。
これを計算(留数を用いて)すると、I=(1/2Π)×2Πi×(1/2)=(i/2)となったのですが、これで合ってますか?

A 回答 (4件)

#1です。


留数を使った積分は閉路Cに沿って反時計回りに積分することが前提です。
#2-3さんの回答にもあるように
C1を実軸に沿っての -∞→∞の積分経路とすれば、任意の積分経路C2を加えて、閉路C=C1+C2を構成してやります。
C2に沿っての線積分がゼロになるように通常選びます。
f(z)=-(1/2)/(z-x-inh)+(-1/2)/(z-x+inh)
ですから各項について、又は2項の和について

C2をz=Re^(iθ),θ=0→π,R→∞
または
C2=C21+C22+c23に分割して
C21:z=R+jy,y=0→R
C22:z=x+jR,x=R→-R
C23:z=-R+jy,y=R→0
,R→∞
などの積分経路C2を設定して
∫[C2]f(z)dz=0
が示せれば
留数による積分公式が使え、A#1の解がえられるわけです。
    • good
    • 0

留数を求める積分は閉曲線C上のJ=∫C[(x-z)/{(x-z)^2+h^2*n^2}]dzです。

これを実数の積分Iに対応させるため、x軸上で[-R,R]の直線(C1)を底とする+y側に半径Rの半円の周をC2とします。

したがってJの積分路としてC=C1+C2の閉曲線をとります。R→∞とするとC1の部分がIになります。すなわち、
2πi×(留数)=∫C=∫C1+∫C2
したがってC2の円周の部分の積分が決まらなければ留数を求めてもI=∫C1は決定できないのです。

そして、x軸直線上の(簡単な)積分が求まらないものなら、通常は半円上の積分はもっと困難です。したがって普通はこの部分がR→∞で0になることを利用します。

ただし、今回は半円でなく長方形を取れば積分できそうですが、実数の不定積分と同じことをより複雑にしています。
    • good
    • 0

I=∫[-∞,∞][(x-ξ)/{(x-ξ)^2+h^2*n^2}]dξ


と留数に関係する積分
J=∫C[(x-z)/{(x-z)^2+h^2*n^2}]dz
は異なります。IはJの一部でなのです。JからIの部分を除いた部分が0にならなければ(0以外、線積分はほとんど計算不可能)、留数定理で積分値は求まらないのです。

つまるところ、線積分?が求まらないので留数定理を使うのですからん。

この回答への補足

は異なります。IはJの一部でなのです。JからIの部分を除いた部分が0にならなければ(0以外、線積分はほとんど計算不可能)、留数定理で積分値は求まらないのです。

というところの意味がよくわかりません。

補足日時:2006/02/18 09:23
    • good
    • 0

>I=(1/2Π)×2Πi×(1/2)=(i/2)となったのですが、これで合ってますか?



留数が -1/2
ですので
符号が違っています。
I=(1/2Π)×2Πi×(-1/2)=-(i/2)
となり正解は -(i/2)
です。

この回答への補足

再計算したところ答えが合いました。
しかし、この留数の使い方はあってますか?
閉じた積分路である判断はどこでするのですか?

補足日時:2006/02/18 09:31
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!