円

線分ABは半径4cmの半円Oの直径である。点Cは弧AB上にあり、弧AC：弧CB＝３：１である。この半円Oを、弦ACを折り目として折ったとき、弧ACが直径ABと交わる点をDとする。
(１)∠CABの大きさを求めよ。

弧AC：弧CB＝３：１であるから、
∠COB＝180°÷4＝45°ですよね。
よって、∠CAB＝45°/2

だとおもいます。

(２)線分ADの長さを求めよ。
点Dの対称の点をD’とする。と考える。
点D’はABの垂直二等分線上にあると思います。（確信がないです。）
そうすると△AOD'より
AD＝AD'＝4√2となると思います。

(３)次の2つ線分AC、ADと弧CDで、囲まれた部分の面積を求めよ。ただし、円周率をπとする。
私の考えは点Cから線分ABに垂線を引き、交わった交点をEとする。
△CAEの面積からいらない部分を引くことを考えて行った。しかし、よくわからずに詰まっています。

すいませんが(2)、（3）の考え方、解説等をお願いします。

No.9 ベストアンサー 回答者： char2nd 回答日時： 2006/02/21 22:45

　＃３＆６です。

＞(2)の問題で、点DからACに垂線を引きその延長し円との交点をD'として、考えていくことはできませんか？

　同じことですよ。

＞点Dの対称の点をD’とする。と考える。

　これは、作図するときはＤ’から線分ＡＣに対し垂線を引き、その延長線と孤ＡＣとの交点がＤ’とします。
　したがって、単に「対称」という言葉で表現するか、作図するときの順序で表現するかの違いです。
　∠Ｄ’ＡＯが45°で、△ＡＤ’Ｏが直角二等辺三角形になることに気づくかどうかがカギです。

＞(3)も中学の内容でお願いします。

　欠円の面積の公式は、まとめてしまうと難しく見えますが、順序立てて考えれば意外と単純です。
　欠円を構成する弦または孤の中心角（弦または孤の両端と、孤の中心とを結んだときに出来る角）が分れば、欠円の面積は、【扇形部分の面積】－【三角形部分の面積】であることから、それぞれの面積を求めてその差を算出すればいいわけです。
　本件の場合だと、線分ＡＣと孤ＡＣによって構成される欠円の面積は、扇形ＡＣＯから三角形ＡＣＯの面積を引けば求められます。
　具体的な数値で表現すると公式にならないので、半径をＲ、中心角（この場合は∠ＡＯＣ）をθとします。

【扇形部分の面積】
　円の面積と中心角のと360°の割合から
A1＝πＲ^2×θ/360

【三角形部分の面積】
　[底辺]×[高さ]÷２より、[底辺]は半径Ｒ、[高さ]はＲsin(180-θ)より、
A2＝1/2×Ｒ×Ｒsin(180-θ)＝1/2×ｒ^2×sinθ
注）sin(180-θ)＝sinθ

　従って、欠円の面積は、

Ａ＝A1－A2
　＝πＲ^2×θ/360－1/2×Ｒ^2×sinθ
　＝Ｒ^2×{πθ/360－1/2×sinθ}

　Ｒ＝Ｄ/2より、

Ａ＝（Ｄ/2）^2×{πθ/360－1/2×sinθ}
　＝Ｄ^2×{(π/4)×(θ/360)－1/8×sinθ}

No.8 回答者： debut 回答日時： 2006/02/21 22:25

No2です。

（２）ＤからＡＣに垂線ＤＨを引き、その延長と弧ＡＢとの交点をＤ' と
　　　する。
　　　折りたたんで重なるのだからＤＨ＝Ｄ' Ｈ
　　　ＡＨは共通
　　　∠ＡＨＤ＝∠ＡＨＤ'　　　よって△ＡＤＨ≡△ＡＤ' Ｈ
　　　したがって、∠ＤＡＨ＝∠Ｄ' ＡＨ＝45°/2だから∠ＤＡＤ' ＝45°
　　　三角形ＯＡＤ' は二等辺三角形だから∠ＡＤ' Ｏ＝45°
　　　以上より、ＡＤ' ＝４√２＝ＡＤ

（３）求める面積はＡＤ' とＡＣと弧ＡＤ' で囲まれる部分と合同だから
　　　扇形ＡＯＣから△ＡＯＣと弦ＡＤ' ・弧ＡＤ' で囲まれる弓形を
　　　引けばよい。

　　　扇形ＡＯＣは∠ＡＯＣ＝135°だから面積は16π×135/360＝６π
　　　三角形ＡＯＣは底辺ＡＯ（４cm）、高さＣからＡＢにおろした垂線
　　　の長さ（２√２cm・・斜辺ＯＡの直角二等辺三角形の他の辺）より
　　　　　４×２√２÷２＝４√２
　　　弦ＡＤ' と弧ＡＤ' で囲まれる弓形は円の1/4から△ＡＯＤ' を
　　　引けばよいから、４π－４×４÷２＝４π－８

　　　よって、求める面積は６π－４√２－(４π－８)＝・・・

No.7 回答者： postro 回答日時： 2006/02/21 22:02

＃４です

中学でわかるように書いているつもりです。
他の多くの方々の内容も中学でわかると思います。
ちゃんと読んでください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
もう一度考えてみたら、確かにそうですね！
私の勘違いでした。すいません。もっと勉強します。
ほんとにありがとうございました。

お礼日時：2006/02/21 22:31

No.6 回答者： char2nd 回答日時： 2006/02/21 21:15

　＃３です。

　欠円の公式が間違ってました。
　正しくは、次の通りです。

Ａ＝Ｄ^2｛(π/4)×(θ/360)－1/8×sinθ｝

この回答への補足

皆さんありがとうございます。
中学でもわかる解き方がありましたら教えてください。できれば、
(2)の問題で、点DからACに垂線を引きその延長し円との交点をD'として、考えていくことはできませんか？

(3)も中学の内容でお願いします。

わがまま言ってすいません・・・

補足日時：2006/02/21 21:42

No.5 回答者： yoko_love1983 回答日時： 2006/02/21 19:31

（２）スチュワートの定理を用いて

AD=４＋１－１－√５＝４＋√５となりますね。

（３）ワイヤシュトラウスの定理を用いて
２３２πー３４となりますね。ADに対して両定理をうまくつかうのがコツです！

No.4 回答者： postro 回答日時： 2006/02/21 19:25

(２)ですが、

弧AC上に∠D'AC=∠DACになるようにD'をとる
弦ACを折り目として折ったら、AD'とADが重なる。
∠DAC＝45°/2　だから∠D'AB＝45°
結果的に点D’はABの垂直二等分線上にある。と考えればいかがでしょう？

(３)は
求める面積は、2つの線分AC、AD’と弧CD’で、囲まれた部分の面積と同じだから、これを求めることを考える。
求める面積D'AC=D'AB-CAB
答えは　２π+８-４√２　になった。

No.3 回答者： char2nd 回答日時： 2006/02/21 19:04

(2) について。

　Ｄ’とＯを結ぶと、Ｄ’Ｏは半円Ｏの半径ですから、

ＡＯ＝Ｄ’Ｏ

となり、△ＡＯＤ’は二等辺三角形ということになります。
　このとき、Ｄ’が線分ＡＣに対してＤの対称となる点であることから、

∠ＤＡＣ＝∠Ｄ’ＡＣ＝45°/2

∴∠ＤＡＤ’＝45°

　従って、△ＡＯＤ’は直角二等辺三角形ということになり、∠ＡＯＤ’＝90°となります。
　Ｏは線分ＡＢの中点ですから、Ｄ’は線分ＡＢの垂直二等分線上にあります。

(3) について。

　問題の図形と線分ＡＣ・線分ＡＤ’・孤ＣＤ’が作る図形とが合同であることが判ればそれほど難しくないでしょう。
　弦ＡＣと孤ＡＣからなる欠円の面積から、弦ＡＤ’と孤ＡＤ’からなる欠円の面積を差し引けば、問題の面積が求められます。
　欠円の面積は、直径をＤ、中心角をθとすれば、

Ａ＝Ｄ^2｛(π/2)×(θ/360)－1/8×sin(2θ)｝

です。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2006/02/21 19:00

重なるのだから、△ＡＤＣ≡△ＡＤ' Ｃで、∠ＤＡＣ＝∠Ｄ' ＡＣ

よって、∠ＤＡＤ'＝45°なので中心角ＤＯ Ｄ'＝90°
つまりＤ'は弧ＡＢの中点、つまりＡＢの垂直二等分線と弧ＡＢの交点。

（３）はＡＣ，ＡＤ'、弧ＣＤ'で囲まれる部分と同じなので、
　　　扇形ＡＯＣから△ＡＯＣと弦ＡＤ'と弧ＡＤ'で囲まれる弓形を
　　　引けば求まると思います。

No.1 回答者： sumirenotubasa 回答日時： 2006/02/21 18:27

（２）まではあってると思います

（３）はACとADと弧CDに囲まれたであってますかね？単純にDからOに垂線をおろせばできるとおもいます

AODとODCをたしてAOCをひく方法だと思います

この回答への補足

ありがとうございます。
何で、点D’はABの垂直二等分線上にあるのですか？
そこがいまいちわかりません。
(3)これから考えてみたいと思います。

補足日時：2006/02/21 18:31