ｆ（ｆ（ｘ））の性質

Question

『f(x)=x^2+ax+b , g(x)=f(f(x))　とする。g(x)-x　は　f(x)-x　で割り切れる事を示せ。』
という問題なのですが、（消されたらたまらないので）方針だけ教えていただければ幸いです。また、f(x)がどんな関数でもこの定理（？）は成り立つのでしょうか?よろしくお願いします。

eatern27 · Accepted Answer

>f(x)がどんな関数でもこの定理（？）は成り立つのでしょうか?
fが多項式であれば成り立ちます.

f(x)=Σa_nx^n,y=f(x)-xとすれば
g(x)-x
=f(x+y)-x
=Σa_n(x+y)^n-x
={yを含む項}+Σa_nx^n-x (二項定理を使って展開した)
={yを含む項}+y
は、y(=f(x)-x)で割り切れますので.


ついでですが,
#2,#4さんの方針は,f(x)-x=0が重根を持つ場合には使えない気がします.(使おうとすると面倒な事になる？)

noname#15728 · Answer

ちょっと失礼します。

　重根云々はこの際問題にはなりませんですよ。k 重根があるととき Q(x)=P(x)G(x)+R(x) となったとします。係数を微小に動かせばすべてを単根にできる筈ですが、零でない係数を持つ多項式 R(x) がいきなり零になることはできません。

Tacosan · Answer

#4です.
ええ, 後で気付きました＞#5.
いくとすれば
「P(x) = f(x)-x, Q(x) = f(f(x))-x としたとき, x=αが P(x)=0 の k重解であれば Q(x)=0 の k重解でもある」
を示すという方針で, 
「x=αが P(x)=0 の k重解 iff P(α) = P'(α) = ... = P^{(k-1)}(α) = 0」
を使うんでしょうか.
なんというか, 牛刀って感じ?

Tacosan · Answer

んっと,
「x = α が f(x) - x = 0 の解なら g(x) - x = 0 の解でもある」
ってことを示せばいいような気もするんだけど....

debut · Answer

ｇ(ｘ)－ｘ＝{f(ｘ)}^2＋ａf(ｘ)＋ｂ－ｘ
　　ここで、{f(ｘ)}^2＝{f(ｘ)－ｘ}^2＋２ｘf(ｘ)－ｘ^2　とできるし
　　　　　　ｂ＝f(ｘ)－ｘ^2－ａｘ　だから、
ｇ(ｘ)－ｘ＝{f(ｘ)－ｘ}^2＋２ｘf(ｘ)－ｘ^2＋ａf(ｘ)＋f(ｘ)－ｘ^2－ａｘ－ｘ
　　　　　＝{f(ｘ)－ｘ}^2＋２ｘf(ｘ)－２ｘ^2＋(ａ＋１)f(ｘ)－(ａ＋１)ｘ
　　　　　＝{f(ｘ)－ｘ}^2＋２ｘ{f(ｘ)－ｘ}＋(ａ＋１){f(ｘ)－ｘ}
　　　　　＝・・・・

aqfe · Answer

前半は＃１さんの通りですね。

後半は成り立つ気がします。（ちょっと自信なし）
ただし「割る」という制約上、f(x)≠xですけどね。

g(x)-xがf(x)-xで割り切れるというのは
「f(x)-x = 0」なら「g(x)-x = 0」であればよいので、

g(x)-x
=f(f(x))-x
=f(x)-x　　　（←f(x)=xということでf(x)をxに置き換えた）
=x-x　　　　　（←同上）
=0

だからです。

peror · Answer

前半は、
g(x)=f(x^2+ax+b)=(x^2+ax+b)^2+a(x^2+ax+b)+b として、展開し、
g(x)-x を筆算で f(x)-x で割って因数分解し、因数にf(x)-xがあることを示せました。もっとスマートなやりかたがあるのかもしれませんが。

後半、これが、一般になりたつかどうかは私にはわかりません。

ｆ（ｆ（ｘ））の性質

>f(x)がどんな関数でもこの定理（？）は成り立つのでしょうか?

ちょっと失礼します。

#4です.

この回答への補足

んっと,

ｇ(ｘ)－ｘ＝{f(ｘ)}^2＋ａf(ｘ)＋ｂ－ｘ

前半は＃１さんの通りですね。

前半は、

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　ちょっと失礼します。