三角関数で、加法定理を使って証明するのに苦戦しています。。。。

1)cos2θ= cos^2θ-sin^2θ

これを自分なりにといてみたのですが、

加法公式(+の方)で、αβを共にθとすると、

tan2θ=tan(θ+θ)

tanθ+tanθ
= ------------
1-tanθtanθ

2tanθ
= ---------
1-tan^2θ

2倍角の公式より、

cos 2θ = cos^2 θ - sin^2 θ
=(1 - sin^2 θ) - sin^2 θ
= 1 - 2sin^2 θ

となり、

cos2θ = cos^2 θ - sin^2 θ
= cos^2 θ - (1 - cos^2 θ)
= 2cos^2 θ - 1

sin^2 θ + cos^2 θ = 1 だから

cos 2θ = cos(θ + θ)
= cos θ cos θ - sin θ sin θ
= cos^2 θ - sin^2 θ.

から

sin 2θ = sin(θ + θ)
= sin θ cos θ + cos θ sin θ
= 2 sin θ cos θ.

となる。

何かおかしいと思うんです。

教えてもらえるとうれしいです。

よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

オイラーの公式はe^(i・θ)=cos(θ)+i・sin(θ)だから


cos(α+β)+i・sin(α+β)=e^(i・(α+β))=
e^(i・α)・e^(i・β)=(cos(α)+i・sin(α))・(cos(β)+i・sin(β))=
cos(α)・cos(β)-sin(α)・sin(β)+
i・(sin(α)・cos(β)+cos(α)・sin(β))
だから
cos(α+β)=cos(α)・cos(β)-sin(α)・sin(β)
sin(α+β)=sin(α)・cos(β)+cos(α)・sin(β)

「オイラーの公式」と「複素数の性質」と「指数の性質」を知っている人は「加法定理」を覚えなくてもいいんですよ
あなたももう少し勉強すると学習が楽になります
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オイラーの公式は知らないのですか?

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この回答へのお礼

オイラーの公式は知らないんです。。。
ネット上で見ていると、のっていました。。
cos(α+β)の公式に当てはめてがんばっていたらできました。。。
いろいろと、ありがとうございました。
機会がありましたら、またよろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/21 12:39

それならやはり下の方の言うとおりでいいのでは?


あなた自身もちゃんと解いているようですが。
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この回答へのお礼

はい。あの方のいっていた通りでした。
いろいろとご迷惑かけてすいませんでした。
&アドバイスありがとうございます!!
また機会がありましたらよろしくお願いします☆

お礼日時:2002/01/21 12:37

加法定理のcos(α+β)のにほりこめば一発だと思うのですが、、、つかったらいけないんでしょうか?

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この回答へのお礼

使うことは可能です。
あれから教科書&参考書とにらめっこしてようやく完成しました☆
cos(α+β)の式を使って。。。。。
いろいろとありがとうございました。
また、機会があればよろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/21 12:34

質問の意図がよくわからないのですが…。


結局加法定理を用いて何を証明したいのですか?

この回答への補足

ややこしくなってすいません。。。。。。。

cos2θ= cos^2θ-sin^2θ

上記の式を、加法定理を使って証明したいんですが・・・・・・

補足日時:2002/01/20 18:36
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Qsin^4θ-cos^4θ=1-2cos^2θを証明

sin^4θ-cos^4θ=1-2cos^2θを証明せよという問題で、
(sin^2θ+cos^2θ)^2=1^2
sin^4θ+2sin^2θcos^2θ+cos^4θ=1
sin^4θ+cos^4θ=1-2sin^2θcos^2θ
sin^2θ+cos^4θ/sin^2θ=1-2cos^2θ
この先はどう考えたらいいのでしょうか?よそしくお願いします。

Aベストアンサー

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をP、右辺をQとすると、
P-Q=0となれば、P=Qがいえて、証明したことになる。
そこで、p=cosθ,q=sinθとして、P-Qを書き下すと、

P-Q
=q^4-p^4+2p^2-1
=-{p^4-2p^2+(1-q^4)}  (pについて整理した)
=-{p^4-2p^2+(1+q^2)(1-q^2)}
=-{p^2-(1+q^2)}{p^2-(1-q^2)} (因数分解した)

ここで、p^2+q^2=1だから、p^2=1-q^2である。これを代入すると、
P-Q
=-{(1-q^2)-(1+q^2)}{(1-q^2)-(1-q^2)}
=-1*(-2q^2)*0
=0
したがって、P=Qである。

質問文の中の方法は、p^2+q^2=1という定理から出発して、証明する等式にもっていこうとしているのですが、この方法では、いろんな変形の可能性がどんどん増えていくばかりです。証明したい式から出発して、逆にたどっていくほうが近道です。

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

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を解いてください

計算式もお願いします

Aベストアンサー

 まずは三角関数の補角の公式・余角の公式などをマスターしましょう。
 そしてこれらを使って基本に忠実に計算していきましょう。
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s2_sankaku_seishitu.pdf

 sin(90°+θ)=cosθ
 sin(180°-θ)=sinθ
 cos(90°+θ)=-sinθ
 sin(90°-θ)=cosθ

 このことから与えられた式は次のように書き換えられます。
  与式=(cosθ)^2+(sinθ)^2+(-sinθ)^2+(cosθ)^2
    =2{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
    =2 (∵ (cosθ)^2+(sinθ)^2=1)

Qcos^2の2θ+sin^2の2θ=2

こんばんは、
cos^2θ+sin^2θ=1は公式として覚えているんですが、
cos^2の2θ+sin^2の2θ=2 となるのはなぜですか?
基本的なことですが、わからないので教えていただきたいです…

Aベストアンサー

>cos^2の2θ+sin^2の2θ=2 となるのはなぜですか?

なりません。
2θ=αとおくと
cos^2α+sin^2αとなり
cos^2θ+sin^2θ=1より
cos^2α+sin^2α=1
cos^2(2θ)+sin^2(2θ)=1となります。

Q(2)についての質問です。2(sinθ-cosθ)-(sin^2θ-cos^2θ)=2(sin

(2)についての質問です。

2(sinθ-cosθ)-(sin^2θ-cos^2θ)
=2(sinθ-cosθ)-(sinθ-cosθ)
×(sinθ+cosθ)
=(sinθ-cosθ){2-(sinθ+cosθ)}

この部分の展開がわかりません。
2(sinθ-cosθ)…… の所の説明をお願いします。拙い文章ですみません。

Aベストアンサー

sinθ=X, cosθ=Y とおくと
 X^2 - Y^2 = (X +Y)(X - Y)
はよいですね?

元の式は、
 2( X - Y ) - ( X^2 - Y^2 )
なので
 2( X - Y ) - ( X^2 - Y^2 )
= 2( X - Y ) - (X +Y)(X - Y)
= (X - Y) [ 2 - (X +Y) ]

ということです。

Qa cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 +

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)?

2倍角の公式を使うと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 + 2c cos(θ)sin(θ)
= (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ) + c sin(2θ)
になるそうです。

2c cos(θ)sin(θ) = c sin(2θ)
の方は分かるのですが、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の方はどうやって計算していいのか分かりません。

使う公式は
cos(θ)^2 - sin(θ)^2 = cos 2θ
だと思います。
でも、aとbが邪魔ですよね?
しかも b sin(θ)^2 の符号が+です。

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の経過を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

えっと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2というのは
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2ですよね?
答えがcosで表されているので、(sinθ)^2をcosで表現すると
1-(cosθ)^2です すると

 a(cosθ)^2+b(sinθ)^2
=a(cosθ)^2+b{1-(cosθ)^2}
整理して
=(a-b)(cosθ)^2+b
ここで、二倍角を使います
cos2θ=2(cosθ)^2-1
ですので、
(cosθ)^2=(cos2θ+1)/2
ですね?
すると
 (a-b)(cosθ)^2+b
=(a-b){(cos2θ+1)/2}+b
展開して
=(a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
となります


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