金属中の自由電子において、シュレーディンガー方程式は
 -h^2/2m・d^2ψ(x)/dx^2=Eψ(x),E=p^2/2m=h^2k^2/2m
であり、ψの一般解はAe^jkx+Be^-jkxとなると専門書に書いてあったのですが、途中の計算過程がどうしてもわかりません。できるだけ詳しく教えてください。お願いします。

A 回答 (3件)

応用数学の教科書の「定数係数2階線形微分方程式」のところを見てください。



「応用解析要論」(田代嘉宏著、森北出版)の例8.1(p.24)と同様に解きます。

まず、Ψ(x)=yと置きます。
左側の式のEに、E=h^2k^2/2mを代入して
-h^2/2m・y"=h^2k^2/2m・y
となります。普通に式変形して、
h^2/2m・(y"+k^2・y)=0
です。
特性方程式(応用数学の教科書で確認してください)は、
s^2+k^2=0    ∴s=±ik

これにより、
y=Asin(-kx)+Bcos(kx)
またはy=Asin(kx)+Bcos(-kx)
となります。

また、
y=Ae^(ikx)+Be^(-ikx)
と表すこともできます。

> starfloraさん
物理系の教科書では、電流iと混同しないよう、複素数はjで表す習慣なんです。ややこしいですよね(^^;
すみません、横レスでした。 
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この回答へのお礼

参考の教科書まで書いていただきありがとうございました。おかげで悩まされた疑問を解消することができました。これからも御縁があれば、よろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/26 23:47

 


  この場合、一変数の ψ(x) が、xで2回微分すると元に戻るという微分方程式ですから、そういう関数は、普通、e^x しかないはずです。または、係数にマイナスが付くのだとすれば、e^ix です。
 
  この場合、多分、e^ix または e^(-ix) ではないのですか。
  この二つが特解ですから、一般解は、この二つの線形結合で、Ae^(ix)+Be^(-ix) ということで、xの係数は、方程式に合うよう、適当に選べばよいということでしょう。k がその係数で、これは分かりますが、j は、虚数単位 i の間違いではありませんか?
 
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この回答へのお礼

解答ありがとうございました。今回の件でいかに勉強不足か痛感し、もうちょっと気合を入れ直して勉強頑張りたいと思います。それから虚数単位iの事ですが、may-may-jpさんがおっしゃる通り電流iと混合しないようにjを使ってます。

お礼日時:2002/01/26 23:42

係数は適当に整理するとして,


2階微分したら同じものが出てきた,ただし符号が変わっている,
というのがこの微分方程式の本質ですから,基本解は sin,cos,ですね.
古典力学の調和振動子と全く同じことです.
sin,cos にするか, exp(±jkx) にするかは,
単に線形結合で基本解の取り方を変えただけです.
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この回答へのお礼

即レスありがとうございます。確かに冷静に考えたら、2回微分したら同じものが出てくる関数は指数関数か三角関数しかありませんよね。これらの関数はオイラーの公式で変換できますし。ホント参考になりました。

お礼日時:2002/01/26 23:24

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Qあまのじゃくってどういう意味ですか?

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参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%82%E3%81%BE%E3%81%AE%E3%81%98%E3%82%83%E3%81%8F

Q加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2

加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
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a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

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a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

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約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

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a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

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Q物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
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重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
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 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
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です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
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   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
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Q「あまのじゃく」に相当する英語は?

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 yes-man, yes-sayer(はいはいと言うことを聞く人)の対義語、no-man, no-sayer(違う違うとごねる人)が近いだろうと思います。

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Qma=Fと微分方程式 m・d^2r/dt^2=F

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頂けないでしょうか?

よろしくお願いします

Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

 遠隔作用説では説明できないことがあったり、電磁波の数学解も出て来ませんでした。近接作用説に則り、微分方程式で記述し直すと、電磁波の数学解が出てきて、実験してみると電磁波が発見されました。重力もニュートンの式は遠隔作用説の記述ですが、アインシュタインが近接作用説で書き直し、重力に対する理解が非常に進んで、今まで説明不能だったことが説明できるようになりました。

 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

 物理学では、物理現象を調べるときに、できるだけ細かい要素に分けて、一つ一つの要素を調べます。一つ一つが分かったら、元の形に組み直していき、ようやく「分かった」となります。細かく分解できるほど、正確に、精密になるというのが、経験的な事実です。微分方程式による記述は、もっと正確に、より精密にということの顕れです。当然、物理学として進歩します。

P.S.

 決定論は間違っていることが既に判明しています。量子力学の成果です。量子力学は「物理現象の根本は不確定で確率的である」としています。何事も100%の精度で知ることはできず、サイコロの目の出方次第で変わってしまうのですから、たとえ宇宙全体を観測できて、無限の計算能力を持っていても、ラプラスの悪魔にはなれないわけです。

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかか...続きを読む

Qあまのじゃく・・・

なんとなく、あまのじゃくな性格です。
この性格ってどうしてこうなるの?
解決する方法とかありますか?

Aベストアンサー

同じくあまのじゃくです(笑)
#1さんのおっしゃること、確かに当たってるような気が・・・。
私は最近は、思わず言い返してしまっても
後で家に帰ってから反省をするようにしています(笑)
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参考程度に読んでおいていただけるとありがたいです。

Q照度E=a/r^2〔lm/m^2〕になる理由

こんにちは、フォトダイオードとか照度について勉強しているものです。照度E〔lm/m^2〕は、光束a〔lm〕、距離r〔m〕の間に以下のような式を成り立たせるみたいです。

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しかし、何故こんな式になるのでしょうか?証明方法とかありましたら是非知りたいです!よろしくお願いします。

Aベストアンサー

これは定義(約束事)↓ですから証明することは出来ません。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%82%B9


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