２直線の交点の軌跡、解き方が。。。

問題は、

tが実数の値をとるとき、２つの直線tχ－y＝t、χ＋ty＝２t＋１の交点Ｐ（χ、y）はどのような図形になるか、その方程式を求めて図示せよ。

というものなのですが、解き方は解説を見てなんとなく解ったのですが
手順が何を意味しているのかがわかりません。。
解説は、まずχが１でなく、yが２でない場合と仮定してtに関する等式を作っています。
この等式を整理した式をまず作り、（円の方程式になっています）
その後χが１の場合とｙが２の場合を考えて成立するとかしないとかを証明しているのですが、
なぜこういった手順になるのでしょうか。

軌跡の問題はだいたい解けるようになりましたが変数がついた場合にどう対処すればいいのかがわかりません。。
問題を説明するのが難しいのですが、、、

教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： take008 回答日時： 2006/04/14 23:59

(1) t(x-1)=y

(2) x-1=-t(y-2)

ご質問に直接関係ありませんが，まず図的に考えてみましょう。
(1)は点A(1,0)を通り傾きがtの直線
(2)は点B(1,2)を通り傾きが-1/tの直線，すなわち(1)と直交する（t=0 のときも(1)と直交する直線になる）。
交点をPとおくと，∠APBが直角なのでPはABを直径とする円Ｃ上にある。
逆に円Ｃ上の点Pがすべて，あるｔについて(1),(2)の交点になるか？
APの傾きをｔとすればよいので，PがA,B以外のときは交点になる。
Aは t=0 のときの交点である。
Bは(1)が決して通らないから，交点になることはない。
したがって軌跡は，円Ｃの点B以外の部分である。

では，計算で求めましょう。
(1)(2)からｔを消去して，ｘとｙの関係を求めたいので
(1)×(y-2) -> (1)' t(x-1)(y-2)=y(y-2)
(2)×(x-1) -> (2)' (x-1)^2=-t(x-1)(y-2)
(1)'を(2)'に代入 -> (x-1)^2=-y(y-2) -> (3) (x-1)^2+(y-1)^2=1
円(3)が軌跡の方程式である。
-----　コメント --------
円(3)のすべての点が交点になるか？
y-2=0 のとき (1)' は 0=0 となり (1) とは関係なく成り立つ
x-1=0 のとき (2)' は 0=0 となり (2) とは関係なく成り立つ
ゆえに，x=1 かつ y=2 のときは (1)',(2)'とも(1),(2)と無関係に成り立つので，(x,y)=(1,2) は(1),(2)の交点であるかどうか，上の計算だけではわからない。交点になるかどうか別にチェックしないといけない。
y≠2 のときは，(1)'は(1)と同値で，(1)'と(3)から(2)が導かれるので別にチェックしなくてもよい。
x≠1 のときも同様にチェックしなくてもよい。
ただし，高校の先生によっては，この場合もチェックしないといけないと思っている人がいるので要注意。
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円(3)上の点のうち，(x,y)=(1,2) は交点でない可能性がある。
実際，直線(1)が(1,2)を通ることがないので，(1,2)は軌跡に含まれない。
したがって，軌跡は円(3)の点(1,2)以外の部分である。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2006/04/14 23:21

＞軌跡の問題はだいたい解けるようになりましたが変数がついた場合にどう対処すればいいのかがわかりません。

。

軌跡を求めると言うことは、簡単に言えば「変数を消す事」を意味しています。
従って、変数がある場合はわからないと言うことは、軌跡の問題がわかっていないと言うことです。

tχ－y＝t　‥‥(1)。χ＋ty＝２t＋１‥‥(2).
(1)と(2)から変数tを消して、xとyの関係式を求めることになります。

(1)より、(x-1)t＝y　‥‥(3)
(2)より、(y-2)t＝1-x ‥‥(4)
(3)と(4)からxとyの関係式を求めることになりますから、(x-1)と、(y-2)が0になるときは別に考える必要があります。
(x-1)(y-2)≠0なら、t＝y/(x-1)＝(1-x)/(y-2)となるからです。

No.1 回答者： climber_nagasaki 回答日時： 2006/04/14 23:18

２直線tχ－y＝t、χ＋ty＝２t＋１をｔについての式（ｔ＝・・・の形）に直しましょう。

一つすると、
ｔｘ－ｙ＝ｔ
ｔ（ｘ－１）＝ｙ
ｘ≠１のとき、ｔ＝ｙ／（ｘ－１）

もう一つもして、ｘ、ｙだけの式にしましょう。

＞その後χが１の場合とｙが２の場合を考えて成立するとかしないとかを証明

上記に示したように、ｘ≠１と仮定しているので、ｘ＝１を代入したら、成り立つのかを調べましょう。
もうひとつも同様です。

数学の問題は、幅広いので、多くの問題に挑戦しましょう。