No.3ベストアンサー
- 回答日時:
とりあえず、球の部分的体積の求め方の積分から。
x-y 平面の第1象限に半径rの1/4円弧を書きます。
x 軸との交点は(r,0)、y 軸との交点は(0,r)、式は y = √(r^2 - x^2)です。この円弧をx軸を中心として回転させた球(半球)を考えます。
x 軸との交点を球の底と考えます(つまり右側が下、左側が上)。底からhまで水(?)が溜ったとして、xが r-h からrまでの部分の体積Vを求めることにします。
V = π∫(r^2 - x^2)dx (積分範囲 r-h から r)となります(これは回転体の体積を求める公式V=π∫f(x)^2 dx に f(x) = √(r^2 - x^2)を代入したもの)。
これを計算すると
V = (π/3) * h^2(3r-h) …… ( 0 ≦ h ≦ 2r )
という比較的単純な式が出てきます。
これが、半径rの球の、底から高さhまで水が溜ったときの体積Vを求める式です。
重さとの関係のようですから、h → 重さ の変換では、単位に気をつけながら、比重をVに掛ける必要があります。長さの単位をcmに統一すると体積がmlの単位で出ます。比重 g/ml を掛けると 重さ g が出ます。
さて、逆に体積からこのhを求めるというのは、このhに関する3次方程式の解を求めるということになりますから、ちょっと厄介ですね。数値計算をするしかないようです。パソコンや関数電卓があれば、3次式ですから、試行錯誤でもすぐに近似解は得られそうですが、もし、球の半径 r が特定の値に固定されているのなら、r と V (もしくは重さ)の関係表をあらかじめ作成しておくのが簡便かもしれません。
No.4
- 回答日時:
まずは体積≠質量ではありませんから質問のされ方が間違って
おられると思います。入っているのが水なら1m^3≒1tですので
67m^3になるところを求めてみます。
今、中心の座標が(r,0)にある円は
(x-r)^2+y^2=r^2
y^2=r^2-(x-r)^2=2rx-x^2
で表すことができこれをx軸で回転させると球になります。
あるxにおけるこの球の断面積はπy^2ですから
断面積πy^2=π(2rx-x^2)
よって求める体積V(t)は
V(t)=∫[0→t]π(2rx-x^2)dx=π[rx^2-1/3x^3]
=π(rt^2-1/3t^3)=πt^2(r-1/3t) (ただし0≦t≦2r)
今、r=5.375[m],V(t)=67なので
67=3.1416t^2(5.375-1/3t)
これをExcelソルバーで解くと
t=2.139[m]=213.9[cm]
になりました。これぐらいの式ならゴールシークでも
誤差少なく求めることができると思います。
No.2
- 回答日時:
水を入れるということだと思うのですけど、
それなら体積が質量になりますから。
下から詰めるよりも、上から詰めると考える方が
分かりやすいと思います。中心から高さzの位置の
『円』の半径は、√(r^2-z^2)で、面積は
π(r^2-z^2),そこに厚さ-dz、面積π(r^2-z^2)の
薄い円板を考え、∫π(r^2-z^2)(-dz)[z=r~h]
としてやります。それが、上端から水を詰めていき
中心から高さhのところまで詰まった水の質量です。
実際には、1t=1000kg=1×10^6g,
水の体積=質量=π(2/3・r^3-r^2h+h^3/3),rをcmに直してg単位で質量が求まります。
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