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定義
Tが緩増加超関数であるとは、
1.TはS上の線形写像、ただしSは急減少関数全体とします
2.Tは連続、i.e.任意のφ,φn∈Sに対してφn→φならT(φn)→T(φ)

2の定義中にあるφn→φ(n→∞)の意味なんですが
これはSにある位相をいれてあってその位相に関して収束するという意味です
ここではその位相の紹介は省きます
またT(φ)のことを<T,φ>と書きます


δ関数を次のように定義するとδ関数は緩増加超関数です
<δ,φ>=φ(0)、φ∈S
証明は定義の1,2を確かめればいいので省きます


ここからが本題なのですが
このデルタ関数が積分の中にでてくるのをよく見ます
たとえば
∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・p(x)・p(y)・δ(z-x/y)
などです。

このδ関数はz-x/yに作用しているのですが
これは上の定義のようなS上の関数にはなっていません
あたかも普通の関数のように扱われています
しかし、普通の関数としたら
(今pは連続分布という仮定があります)
この測度0上で値をとる関数なのでこの積分は0になるはずです

ではどうしてこのように混同して書かれているのでしょうか?
ぜひ教えてください

A 回答 (2件)

あとδ(z-x/y)はδ(yz-x)としたほうが良かったかも知れません。


と反省しています。

「hismixの定義によれば」ではなくて「hismixさんの定義によれば」でした。
失礼しました(カット&ペーストの恐ろしさ)。
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問題の趣旨を良く理解していないのですが、


http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=212617
∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・p(x)・p(y)・δ(z-x/y)を書いた人なので。
書いたときの気分としては完全に関数です。
でも、hismixの定義によれば
写像δはz-x/yに作用するのではなくて
p(x)やp(y)に作用するのではないでしょうか?
関数の変数のように書かれているz-x/yは単なる写像のパラメータと解釈すればいいと思いますが、
関数のように書いたほうが写像が単なる積分に見えて気分がよろしい(微分もできるしね)
というような事情なのではないでしょうか?
(実際は歴史的な経緯でこうなっていると思いますが
 敢えて言えばこんな感じかなと思って書きました。)
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この回答へのお礼

返信遅れましたすいません
>p(x)やp(y)に作用するのではないでしょうか
と言われてそういわれればそうでした!
この場合
<δ,φ>:=int(all)δφdt
のような感じになっているんですね
そう考えれば一応”hismixの定義”(笑)でも解釈できます
なんとなくわかったし、まあ後は時間が解決してくれると思います
精進しまーす
どうもありがとうございました

お礼日時:2002/02/12 16:13

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