畳み込みについて

関数f(t) (0≦t≦1のときf(t)=1、other f(t)=0）と関数h(t) (0≦t≦1のときh(t)=-t+1、other h(t)=0）の畳み込み積分y(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτを実際に数値を入れて計算しろと言われたのですが、どのようにやったらいいのかわかりません。

自分の解釈では、τ＝0.1のとき、y(t)は、y(0)=1.0、y(1)=1.9、y(2)=2.7、y(3)=3.4、y(4)=4.0　…
となるのでは？と思ったのですがどうも違うみたいです。どなたかわかる方がいましたらわかりやすく解説していただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/08/17 12:26

τ で定積分するってことは結果に τ は影響しません. 本当に f(τ) h(t-τ) を計算して τ で定積分すればいいんだけど, f(t) は 0 ≦ t ≦ 1 でのみ 1, その他で 0 となるので τ が 0 以上 1以下でなければ f(τ)h(t-τ) は t に無関係に 0 です. なので, 実質的には

y(t) = ∫(0 ≦ τ ≦ 1) h(t-τ) dτ
を計算しろって意味です. ここで h(t) も 0 ≦ t ≦ 1 でのみ 0 でない値を持つので,
t ≦ 0
0 < t ≦ 1
1 < t ≦ 2
2 < t
に場合分けして, それぞれで上の定積分を計算してください.

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/08/17 13:06

「畳み込み積分y(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτを実際に数値を入れて計算する」ということは、場合分けをして求めなさい。

という意味だろうと思います。

>τ＝0.1のとき、y(t)は、y(0)=1.0、・・・

というのは、何か変ですね？どこが変かはご自分で考えて下さい。y(t)というのはτを積分変数として定積分した、結果ですからね。

場合分けの一つの例として、
0≦t≦1かつ、0≦τ≦1の場合
y(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτただし、積分区間は0≦τ≦1です。

これと同様に他の場合についても考えれば良いのではないでしょうか。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/18 14:03

　単なる、簡単な積分の計算です。

解釈いりません。

　第一に、不定積分
∫f(τ)h(t-τ)dτ
は畳み込み積分じゃないです。畳み込み積分なら、∫は積分範囲の上限と下限が与えられた定積分の筈で、だからこそ、y(t)はτを含みません。ここんとこ、重要です。

　たとえば積分範囲がτ=-∞～∞だとすると
∫g(t,τ)dτ (τ=-∞～∞）
の形の定積分は、積分範囲を分けられる。この場合、
∫g(t,τ)dτ (τ=-∞～∞)=∫g(t,τ)dτ (τ=-∞～0）+∫g(t,τ)dτ(τ=0～1）+∫g(t,τ)dτ (τ=1～∞）
という風に分けて
g(t,τ) = f(τ)h(t-τ）
とすれば、fは消えてしまうのが分かるでしょう。

　次に
∫p(t-τ)dτ (積分範囲はτ=a～b）
の形の定積分は変数変換
s = t-τ
をやれば計算できる。tを定数だと思えばいいんです。

No.4 回答者： masuda_takao 回答日時： 2006/08/22 02:22

y(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτ

...において、積分区間が (-∞, ∞) なら確かに畳み込み積分です。(-∞, t) なら、普通の定積分として計算出来ますね。

　いずれの場合も、t の値で場合分けが必要です。
　t＜0、0≦t＜1、1≦t＜2、2≦t くらいで十分でしょうか(その根拠は、ぜひ自力で考えてみてください)。
　被積分関数はτ＜0, 1＜τ で 0 であり、積分記号化では t を定数扱いしてτのみの関数です。これをτで積分すると、t の関数 y(t) が求まるというわけです。

　あとは、計算をがんばってください。