サッカーボールには、

サッカーボールには、
正五角形はいくつあるか
正六角形はいくつあるか
辺はいくつあるか
頂点はいくつあるか

オイラーの多面体公式でとくみたいなのですが、
どう考えればよいか教えていただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： fronteye 回答日時： 2006/08/18 03:01

サッカーボール形は準正多面体のひとつで、正式には「切頂二十面体」といいます。

正二十面体の各頂点を切ってできる形です。

＊サッカーボール形の作り方＊
正二十面体は正三角形20個で構成されています。１つの頂点には５個の正三角形が集まっています。
その各辺の1/3となる点を結んで正二十面体の各頂点を切り落とすと、サッカーボール形ができます。
切り口が正五角形になります。
元の正三角形が正六角形になります。

つまり、サッカーボール形の正五角形の数は元の正二十面体の頂点の数と等しく、正六角形の数は元の正二十面体の面の数に等しくなります。

次に多面体の辺の数の求め方。
多面体の辺は、２つの面の辺が合わさってできていますよね。
多面体の全部の面の形と数がわかっていれば、
（多面体の辺の数)＝(各面の辺の合計)÷２
となります。
(例；直方体の辺の数は、4×6÷2)

あとは、オイラーの多面体公式
(頂点の数)－(辺の数)＋(面の数)＝２
から、求められると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。サッカーボールが「切頂二十面体」とは分かっていないとき、

サッカーボールの面の正五角形の個数をx、正六角形の個数をy、とします。

サッカーボールの面の個数は、x+y。

サッカーボールの辺の個数は、各面の辺の個数を数えると、２重にダブルから、(5x+6y)/2。

サッカーボールの頂点の個数は、各面の頂点の個数を数えると、３重にダブルから、(5x+6y)/3。

オイラーの多面体公式
(頂点の数)－(辺の数)＋(面の数)＝２より、

(5x+6y)/3-(5x+6y)/2+(x+y)=2

これからx=12が出てくるのですが、yは消えてしまい、
求められません。

yの求め方が分かれば教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2006/08/18 09:30

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/08/18 17:58

サッカーボール (切頭二十面体) とわかっていればいいんですが, 一般に「正五角形と正六角形だけでできた閉じた立体」というだけでは正五角形が 12枚あることしかわかりません. 正六角形をてきとうに増やしていくことにより, 立体を大きくすることができます.

事実, 切頭二十面体をちょうど 2つにわり, その間に正六角形を貼っていくとどこまでも伸ばすことができます. このような形が実際にできてしまったのが化学の「フラーレン」とか「カーボンナノチューブ」とかです.

この回答へのお礼

おもしろい事実を
ありがとうございます。

お礼日時：2006/08/20 16:55

No.2 回答者： fronteye 回答日時： 2006/08/18 11:28

頂点の数に注目しましょう。

サッカーボール形の頂点は、1つの正五角形と２つの正六角形で構成されています。
つまり、正五角形の頂点の総数と正六角形の頂点の総数の比は 1：2 ということです。

あなたなら、ここまでのヒントで分かりますよね。

この回答へのお礼

再度ありがとうございます。
正五角形の頂点の総数と正六角形の頂点の総数の比は 1：2 ということは、

正五角形の面の総数と正六角形の面の総数の比は 1/5：2/6 =12:20

ということになりました。

お礼日時：2006/08/20 16:55