マンガでよめる痔のこと・薬のこと

サッカーボールには、
正五角形はいくつあるか
正六角形はいくつあるか
辺はいくつあるか
頂点はいくつあるか

オイラーの多面体公式でとくみたいなのですが、
どう考えればよいか教えていただけないでしょうか?

A 回答 (3件)

サッカーボール形は準正多面体のひとつで、正式には「切頂二十面体」といいます。


正二十面体の各頂点を切ってできる形です。

*サッカーボール形の作り方*
正二十面体は正三角形20個で構成されています。1つの頂点には5個の正三角形が集まっています。
その各辺の1/3となる点を結んで正二十面体の各頂点を切り落とすと、サッカーボール形ができます。
切り口が正五角形になります。
元の正三角形が正六角形になります。

つまり、サッカーボール形の正五角形の数は元の正二十面体の頂点の数と等しく、正六角形の数は元の正二十面体の面の数に等しくなります。

次に多面体の辺の数の求め方。
多面体の辺は、2つの面の辺が合わさってできていますよね。
多面体の全部の面の形と数がわかっていれば、
(多面体の辺の数)=(各面の辺の合計)÷2
となります。
(例;直方体の辺の数は、4×6÷2)

あとは、オイラーの多面体公式
(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2
から、求められると思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。サッカーボールが「切頂二十面体」とは分かっていないとき、

サッカーボールの面の正五角形の個数をx、正六角形の個数をy、とします。

サッカーボールの面の個数は、x+y。

サッカーボールの辺の個数は、各面の辺の個数を数えると、2重にダブルから、(5x+6y)/2。

サッカーボールの頂点の個数は、各面の頂点の個数を数えると、3重にダブルから、(5x+6y)/3。

オイラーの多面体公式
(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2より、

(5x+6y)/3-(5x+6y)/2+(x+y)=2

これからx=12が出てくるのですが、yは消えてしまい、
求められません。

yの求め方が分かれば教えていただけないでしょうか?

お礼日時:2006/08/18 09:30

サッカーボール (切頭二十面体) とわかっていればいいんですが, 一般に「正五角形と正六角形だけでできた閉じた立体」というだけでは正五角形が 12枚あることしかわかりません. 正六角形をてきとうに増やしていくことにより, 立体を大きくすることができます.


事実, 切頭二十面体をちょうど 2つにわり, その間に正六角形を貼っていくとどこまでも伸ばすことができます. このような形が実際にできてしまったのが化学の「フラーレン」とか「カーボンナノチューブ」とかです.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

おもしろい事実を
ありがとうございます。

お礼日時:2006/08/20 16:55

頂点の数に注目しましょう。


サッカーボール形の頂点は、1つの正五角形と2つの正六角形で構成されています。
つまり、正五角形の頂点の総数と正六角形の頂点の総数の比は 1:2 ということです。

あなたなら、ここまでのヒントで分かりますよね。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

再度ありがとうございます。
正五角形の頂点の総数と正六角形の頂点の総数の比は 1:2 ということは、

正五角形の面の総数と正六角形の面の総数の比は 1/5:2/6 =12:20

ということになりました。

お礼日時:2006/08/20 16:55

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qサッカーボールの五角形が12個ある理由について

サッカーボールは6角形20枚と5角形12枚からできていますが、6角形の3辺が5角形と接しているので3×20=60辺が5角形に接していることになります。そこで60÷5=12ということで5角形が12枚あることが計算できますが、このような6角形と五角形の枚数の関係は、N角形がn枚、M角形がm枚というような関係の一例なのでしょうか。あるいはこういう関係は、これ以外には成立しないというようなことが証明されているものなのでしょうか。

Aベストアンサー

一般には Euler の公式:
(頂点数) - (辺の数) + (面の数) = 2
を使えって話になりますが,
・正五角形と正六角形だけからなる
・全ての辺は 2つの面の境界である
・全ての頂点は 3つの面の境界である
という条件を満たす場合には, 正五角形は必ず 12個となりますね.

Qサッカーボール問題、五角形と六角形の数

サッカーボールは次の条件で作られる。
(1)正五角形と正六角形の多面体を球状にしたものである。
(2)各々の五角形の周りは六角形に囲まれており、六角形の周りは五角形と六角形に交互に囲まれている。
(3)オイラーの多面体の定理によれば、面、頂点、辺の数の関係に「面の数 + 頂点の数 = 辺の数 + 2」の関係がある。

これから、五角形と六角形の数を求めるにはどうすればよいのでしょうか。

Aベストアンサー

五角形の数をm、六角形の数をnとするとばらばらにした時の

辺の数  5m+6n
面の数  m+n
頂点の数 5m+6n

このうち、辺は2つが合わさって立体ができており、
頂点は3つが合わさってます。
(90度以上の角度の図形は4つ以上はあわせることができません。また、2個以下なら
頂点になりません)
これを多面体の定理に入れればmが求まります。
また、五角形が六角形に囲まれているならそのすべての辺は六角形と共有です。
そしてそれは六角形の全ての辺の半分に当たります。((2)の記述から)

Qサッカーボール 多面体の辺の数

サッカーボールの表面は、12個の正五角形と20個の正六角形で囲まれた多面体を丸くふくらませた球である。この多面体の辺の本数を求めよ。

という問題の解説のなかで、正五角形と正六角形はそれぞれ5,6個の正三角形からできているとあり、その多面体のそれぞれ真ん中に中心があり正三角形があるような図があるのですが、正六角形から6個の正三角形が作れるのはわかるのですが、正五角形からは5つの正三角形はできるでしょうか?

解説の図をみると、正六角形のきれいな正三角形より正五角形の場合中心がすこしずれた感じで
正三角形ができているのですが、これは正三角形でしょうか?

Aベストアンサー

回答からいえば正三角形になります。

正五角形の部分は正三角形5つからどうつくるかということですが、
正確には底面が正五角形の五角錘をつくっているのです。
中心がずれているのは、
ほんとうは立体だから、見る角度によってずれているからです。

------------------------------------------------
正二十面体の頂点を切り落としたものがサッカーボール状の図形になります。
作り方は、正二十面体の正三角形から3分の1サイズの頂点を切り落とします。

このとき、切り落とされた頂点は正三角形が5つ集まった正五角形になります。
残りの部分は、正三角形の頂点を切り落とした正六角形になります。

Qサッカーボールは数学的には正何面体と言うべきなのでしょうか。

サッカーボールは正五角形と正6角形の皮を縫い合わせてできていますが、数学的にもこの皮の枚数の面を持っていると考えるのでしょうか。継ぎ目がほころびないためには皮が湾曲することが必要なように思うのですが・・・

Aベストアンサー

質問のタイトルと本文とで内容が違うように思うのですが、もう少し知りたい点をしぼっていただければ答えやすくなります。

正n面体とは、#5の回答にあるとおりですので、こういう多面体については参考URLからリンクをたどってみてください。

平面で形成する多面体ではなく、球面やそれ以外の曲面(双曲面など)で構成される多面体というものもあります。例えば球面上では、スイカを4つに等分するように2つの大円を書けば、それは球面上の「正四面体」であり、「正二角形(!?)」がひとつの頂点に4つ集まる形です。もちろん平面を組み合わせることでは作れません。普通の正四面体(正三角形がひとつの頂点に3つ集まる)とは異なる構成なのです。

平面の正五角形と正六角形で作られる切頂二十面体も、球面のサッカーボールも、上の意味では「同じ形」といえます。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1088135


人気Q&Aランキング