三角形の重心は2等分線を2:1に分けるとは習いました。けれど四面体の重心はどう分けるのでしょう?
つまり四面体のひとつの頂点から重心に直線を引くと
その延長線は底面の三角形の重心につながりますが
その直線は重心によってどう内分されているのでしょうか?習ったようですが忘れてしまいました。
どなたかわかりやすい解説、web等教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

四面体ABCDにおいて


直線CDに垂直な平面pに四面体ABCDを射影し
Aのpへの射影をA’とし
Bのpへの射影をB’とし
C(D)のpへの射影をC’と
四面体ABCDの重心のpへの射影をGとし
△ACDの重心のpへの射影をEとし
△BCDの重心のpへの射影をFとする

するとEは線分A’C’上にありFは線分B’C’上にあり
Gは直線A’Fと直線C’Eの交点であり
三角形の重心の性質からA’E:EC’=B’F:FC’=2:1である
従ってA’C’:EC’=B’C’:FC’=3:1である
従って△C’A’B’∽△C’EFでありその相似比は3:1である
従ってEF〃A’B’である
従って△GEF∽△GB’A’でありその相似比はEF:B’A’=1:3である
従ってA’G:GF=B’G:GE=3:1(求めるもの)である
    • good
    • 0
この回答へのお礼

何回も直していただいてありがとうございました。投影図とは少し難しかったですが一生懸命考えて理解することができました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/18 21:37

 厳密な証明になっていないかも知れませんが次のような計


算で求められます。
 1つの頂点をA、これに対する底面の面積をS、頂点Aと
重心を結ぶ線と底面との交点をB、ABの長さをl、Aから
Bにx座標を考え、xにおいて底面に平行な面でスライスし
てその面をsとします。sはSに相似でその面積は
s=k・x^2  (k=S/l^2)
重心の位置をxgとすると
xg・V=∫s・x・dx=∫k・x^3dx=k・l^4/4
   V=∫s・dx=∫k・x^2dx=k・l^3/3
これから
xg=3・l/4
(ABを3:1に内分)

 この計算は頂点Aを固定し、底面Sが鉛直になるように置
いた状態を想定して、そこでモーメントが釣り合うと考える
と出て来ます。
 xg・V : 重心から力V(体積<=>重量)によって支える
       ことによるモーメント
 ∫s・x・dx : 三角錐の自重によるモーメント
    • good
    • 0
この回答へのお礼

わかりやすいようでモーメント・・・。そういう解き方もあるのですね。文章だけでは難しい質問、答え方ながらもわかりやすい解説ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/18 21:39

自身はありませんが3:1のような気がしますね


解析的に求めるのが一番ではないですか?
四面体の一つの頂点をCとし
四面体のもう一つの頂点をAとし
CとAと「Cから引いた重心を求める直線」を含む平面と四面体の断面の三角形を△ABCとする
△ABCにおいて
点Aを(0,0)とし
点Bを(γ,0)とし
点Cを(α,β)とすれば
四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・
    • good
    • 0
この回答へのお礼

四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・
そうなんですか?知らなかったら自分があほですね。
文章では難しい質問ながらありがとうございました。

お礼日時:2002/03/18 21:45

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qいびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教

いびつな図形の重心の求め方を教えてください。重心を求める基本があれば教えていただけると助かります。大学では微分積分は勉強しました。
問題
直線Y=X+2と放物線Y=x^2で囲まれた領域Dの重心を求めよ。

Aベストアンサー

平面図形の重心は(1次モーメント)/(質量)で定義されます。
(質量)は密度が1の場合は(面積)になります
重心の座標をG(xg,yg)とする。
直線と放物線の交点は2つの方程式を解いて求めるとA(-1,1)とB(2,4)となることから
領域の面積S=∫[-1,2] (X+2-X^2)dX
重心の座標は
xg=∫[-1,2](X+2-X^2)XdX/S
yg={∫[1,4](√Y-(Y-2))YdY+∫[0,1](2√Y)YdY}/S
で求まります。

積分は単純な積分ですから積分は自力で出来ると思いますのでやってみて下さい。

Q任意の三角形の外側に正三角形を作り、その重心を結ぶと又正三角形が・・・

任意の三角形の外側に正三角形を作り、その重心を結んで出来る三角形はどうも正三角形になるようなのです。座標を使って力ずくでやってみたら、確かに正三角形になります。初等的な方法で証明できないでしょうか?何か名前の付いた定理のようでもあるのですが、もし名前があれば併せて教えてください。

Aベストアンサー

ナポレオンの定理・・・だったかな?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%9D%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

「ナポレオン問題」「ナポレオンの問題」とかで検索したら、証明例は出てくると思います。

Q座るときの体の重心位置の求め方

座るときの体の重心位置の求め方

170cmの人が椅子(50cm又は60cmの高さ)に座るまでの、体の重心位置の流れを知りたいのですが、どのように求めればよいのでしょうか?

人それぞれの体型や体のゆがみがあると思いますが、平均体型での重心位置でよいです。

どなたか教えて頂きたいです。

Aベストアンサー

おおざっぱでいいなら、別の方法として、こんなのはどうでしょう?

上腕、下腕、脛、腿、胴体、頭の10個のパーツに分けて考えて、それぞれの重さと重心をあらかじめ計っておけば、どの体制になっても、10個パーツの重心の平均をとれば全体の重心が求まります。

それぞれのパーツの重心をどうやって計るのかはわかりませんけど・・・

Q一辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体 OABCを考える。た

一辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体 OABCを考える。ただし、OA=OB=OC=aであり、a≧1とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線をHとする。AHの長さが√3/3になる理由が分かるかた解説おねがいします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

#1さんの言うとおりなのですが、もう少し言葉をきちんとしておいた方が・・・

結論からすると、点Hは正三角形ABCの外心になります。
正三角形では、外心は重心や内心とも一致します。
#1さんが「中心」と言われているのは、重心になるからという意味だと思います。

その証明ですが、
三角形OAH、三角形OBH、三角形OCHを考えると、
・角Hは直角
・辺OHは共通
・辺OA、辺OB、辺OCは長さ aで等しい。

となり、直角三角形の合同条件を用いれば、これら 3つの三角形は合同であることが言えます。
よって、AH= BH= CHとなり、点Hは外心であることがわかります。

Q円に似た軌道の中心(重心?)の求め方

円に似た軌道の中心(重心?)の求め方
お手上げ状態なので質問させてください。
簡単な高校数学レベルの知識しかないのでできるかどうかわからないのですが、
簡単なプログラムである図形の中心というか重心を求めたいと思っています。
手元にあるデータはx、y座標の羅列で、
十分に細かいサンプリング間隔で座標を取得しているので
それぞれをプロットしていくとほぼ正円になります。
でも厳密にいうと正円ではありません。
この円に近い図形の重心を求めるにはどうしたらいいでしょうか。
ほんの少しの歪みからくる正円との重心のズレを調べたいので
できるだけ近似はしない方法だと助かります。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

x,y座標の羅列をつなげた多角形ということだとすると、
x,y座標毎に、羅列の算術平均をとったものが重心になります。

ただ、当該図形の各点(たとえば各辺)が密度を持つという
設定ならば、上記算術平均には必ずしも一致しません。

Q正四面体ABCDの頂点からおろした垂線と外接球の中心が同一直線上にある理由

辺の長さが3の正四面体ABCDの外接球の半径を求める数学の問題の解説で、
『外接球の中心をO、Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとしたとき
①AB=AC=AD
かつ②OB=OC=ODであるから対称性よりA、O、Hは同一直線上にある』
とあるのですが、①AB=AC=ADかつ②OB=OC=ODが言えると、なぜA、O、Hが同一直線上になるのかが分かりません。(感覚的にはわかるのですが…)

他の知恵袋等、インターネットで調べたところ、上記の対称性は回転対称性の事ではないか?という解答を見つけましたが、それはつまり
『①AB=AC=ADから言える事は、正四面体だから、各辺の長さが同じで、直角三角形の斜辺と他の一辺が等しいからBH=CH=DHとなりHは△BCDの外心と一致し、120°、240°と回転させると元の正四面体と重なる。
また、②OB=OC=ODから言えることは、Oは外接球の中心でありAOを軸に回転させると元の正四面体と重なる。』

という事であり、
結果、(正四面体の1つの頂点から考えて)同じように回転させて正四面体が一致する軸は1つしかなく、A、O、Hは同一直線上にあると言える、という理解で間違いないでしょうか?

また、正四面体の1つの頂点からの垂線上に、外接円の中心は存在するという事実は、問題を解く上で前提としても問題ないのでしょうか?

長く、分かりにくく申し訳ありません。ご回答、よろしくお願い致します。

辺の長さが3の正四面体ABCDの外接球の半径を求める数学の問題の解説で、
『外接球の中心をO、Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとしたとき
①AB=AC=AD
かつ②OB=OC=ODであるから対称性よりA、O、Hは同一直線上にある』
とあるのですが、①AB=AC=ADかつ②OB=OC=ODが言えると、なぜA、O、Hが同一直線上になるのかが分かりません。(感覚的にはわかるのですが…)

他の知恵袋等、インターネットで調べたところ、上記の対称性は回転対称性の事ではないか?という解答を見つけましたが、それはつまり
『①AB=AC=ADか...続きを読む

Aベストアンサー

あまり難しく考えずに, 外接球の中心 O を xyz 座標空間の原点に, A を z 軸上の正の部分に取り,
それに合わせて B, C, D の座標を定めてはどうでしょうか.
添付画像のとおりに見やすくするなら, B の x 座標は正で y 座標は負, としていいでしょう.
あとは数式計算により, H が z 軸上にあることを証明するだけです.

この問題は, ことばは悪いですが「ただの計算問題」なので,
対称性とか回転を本格的に調べるのは, 出題の趣旨から外れるような気がします.
計算問題ということを考えれば, A, O, H が同一直線上にあることに関しては,
「対称性」ということばだけ添えて言及すればよく, 証明せずに使っても減点されないと思います.

Q重心点の求め方

 長方形の長い辺に小さい長方形がくっついた図形の重心点の求め方を教えてください。
       
  ↓こんな形(■の部分)
□□□□□□□□□
□□■■■■■■□
□□■■■■■■□
□■■■■■■■□
□■■■■■■■□
□■■■■■■■□
□□□□■■■■□
□□□□■■■■□
□□□□□□□□□    

Aベストアンサー

左下を原点として、■1つ1つの距離×面積の和を総面積で割ったらでます。

Gx=Σx*dA/A
Gy=Σy*dA/A
A=ΣdA

Q任意の三角形からその三角形と面積の等しい正三角形をその三角形を使って作図するには??

等積変形の問題なのですがかなり考えたのですがわかりません。どなたかわかれば教えてください。

Aベストアンサー

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
1点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を1辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりまし...続きを読む

Q密度一様な物体の重心の求め方。

底面の半径a、高さhの直円錐の重心の位置の求め方が分かりません。
答えは底面からh/4です。

積分を使って求めることは分かっているのですが、答えがどうしても合いません。

ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どういう答えを出されたのですか。
立てた式も一緒に示して貰うといいのですが。
「どうしても合いません」と言われても「はい、そうですか」というわけにはいかないのです。

三角形の重心を積分で求めるのは出来ますか。
円錐の重心を求める計算と並べて比べてみるといいかもしれませんね。
同じ考え方でできる少し簡単な例でやってみると間違いが見つかりやすいと思います。

3角形の重心は中線の上にあって頂点から2/3(底辺からは1/3)の所ですね。
これは面積を2等分する所ではありません。

Q三角形のフェルマー点と重心が一致すれば正三角形か?

三角形ABCには、五心と呼ばれる点があります。傍心を除外した、

重心。垂心。外心。内心。

のうち勝手な二点が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが、少し考えれば分かると思います。

そこでフェルマー点というのを考えます。

フェルマー点とは、△ABC内の点Pのうち、
∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°
となる点をいいます。

僕が調べたところ、
フェルマー点と垂心が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが分かりました。
フェルマー点と外心、フェルマー点と内心についても同様でした。

しかし、フェルマー点と重心が一致すればどのような三角形か、という問題を考えたとき、行き詰ってしまいました。
それも正三角形であることが証明できるのでしょうか?また、正三角形でない反例があるのでしょうか?

さらに、ジェルゴンヌ点とかネーゲル点とかナポレオン点とかも考えたとき、なにか成立することはあるのでしょうか?

なお、詳しい性質と図においては、
http://www.geocities.jp/osaqmath/j3-2.html
を見ていただければ分かりやすいと思います。

三角形ABCには、五心と呼ばれる点があります。傍心を除外した、

重心。垂心。外心。内心。

のうち勝手な二点が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが、少し考えれば分かると思います。

そこでフェルマー点というのを考えます。

フェルマー点とは、△ABC内の点Pのうち、
∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°
となる点をいいます。

僕が調べたところ、
フェルマー点と垂心が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが分かりました。
フェルマー点と外心、フェルマー点と内心についても同様でした...続きを読む

Aベストアンサー

フェルマー点の作図方法に着目した初等幾何の証明が自然ではないかと思っているのでご紹介します。

△ABCの辺BCの外側に正三角形BCA'を作って、AA'を結ぶとこれはフェルマー点Pを通ります(作図するときは他の辺にも同様の正三角形を書いて対応する頂点同士を結んだときの交点がフェルマー点)。さらにAA'とBCの交点をDとすると、Pは重心でもあるのだから、線分AA'は線分BCを二等分します。つまりBD=CDです。一方、△BCA'は正三角形だから、A'D⊥BCです。あとはどうやっても証明できますが、たとえばこのことからPは△ABCの外心であることもわかります。したがって△ABCのフェルマー点と重心が一致すればそれは正三角形です。

まったく同様の論法で、たとえばナポレオン点と重心が一致すれば正三角形なども成立します。

ジェルゴンヌ点やネーゲル点も定義をよく考えてみれば、たとえば重心と一致すればそれは正三角形に限ることは直ちにわかると思います。たとえばジェルゴンヌ点について考えてみれば、△ABCの内接円の接点を順にD,E,Fとして、AD,BE,CFがジェルゴンヌ点Pを通り、なおかつ、Pは重心でもあるのだから、BD=CDです。これからADは垂直二等分線になることがわかり、したがってPは外心でもあります。これも自明ですが、ジェルゴンヌ点と内心、ジェルゴンヌ点と外心、ジェルゴンヌ点と垂心が一致してもいずれも正三角形になりますね。簡単だから考えてみられたらよいと思います。

たぶんいわゆる三角形の特殊点のどれか二つが一致すれば基本的に正三角形になるだろうというのは正しいと思います。が、それを全部証明するのは質問者様の興味を奪うことになるかも知れないし、何より面倒なので書かないことにしますが、たとえばフェルマー点とジェルゴンヌ点が一致すれば?などは基本五心絡みではないので、少々手ごわいのかも知れません。というか少し考えてみたけどわからなかったw

フェルマー点の作図方法に着目した初等幾何の証明が自然ではないかと思っているのでご紹介します。

△ABCの辺BCの外側に正三角形BCA'を作って、AA'を結ぶとこれはフェルマー点Pを通ります(作図するときは他の辺にも同様の正三角形を書いて対応する頂点同士を結んだときの交点がフェルマー点)。さらにAA'とBCの交点をDとすると、Pは重心でもあるのだから、線分AA'は線分BCを二等分します。つまりBD=CDです。一方、△BCA'は正三角形だから、A'D⊥BCです。あとはどうやっても証明できますが、たとえばこのことからP...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報