三角形の重心は2等分線を2:1に分けるとは習いました。けれど四面体の重心はどう分けるのでしょう?
つまり四面体のひとつの頂点から重心に直線を引くと
その延長線は底面の三角形の重心につながりますが
その直線は重心によってどう内分されているのでしょうか?習ったようですが忘れてしまいました。
どなたかわかりやすい解説、web等教えてください。

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A 回答 (3件)

四面体ABCDにおいて


直線CDに垂直な平面pに四面体ABCDを射影し
Aのpへの射影をA’とし
Bのpへの射影をB’とし
C(D)のpへの射影をC’と
四面体ABCDの重心のpへの射影をGとし
△ACDの重心のpへの射影をEとし
△BCDの重心のpへの射影をFとする

するとEは線分A’C’上にありFは線分B’C’上にあり
Gは直線A’Fと直線C’Eの交点であり
三角形の重心の性質からA’E:EC’=B’F:FC’=2:1である
従ってA’C’:EC’=B’C’:FC’=3:1である
従って△C’A’B’∽△C’EFでありその相似比は3:1である
従ってEF〃A’B’である
従って△GEF∽△GB’A’でありその相似比はEF:B’A’=1:3である
従ってA’G:GF=B’G:GE=3:1(求めるもの)である
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この回答へのお礼

何回も直していただいてありがとうございました。投影図とは少し難しかったですが一生懸命考えて理解することができました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/18 21:37

 厳密な証明になっていないかも知れませんが次のような計


算で求められます。
 1つの頂点をA、これに対する底面の面積をS、頂点Aと
重心を結ぶ線と底面との交点をB、ABの長さをl、Aから
Bにx座標を考え、xにおいて底面に平行な面でスライスし
てその面をsとします。sはSに相似でその面積は
s=k・x^2  (k=S/l^2)
重心の位置をxgとすると
xg・V=∫s・x・dx=∫k・x^3dx=k・l^4/4
   V=∫s・dx=∫k・x^2dx=k・l^3/3
これから
xg=3・l/4
(ABを3:1に内分)

 この計算は頂点Aを固定し、底面Sが鉛直になるように置
いた状態を想定して、そこでモーメントが釣り合うと考える
と出て来ます。
 xg・V : 重心から力V(体積<=>重量)によって支える
       ことによるモーメント
 ∫s・x・dx : 三角錐の自重によるモーメント
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この回答へのお礼

わかりやすいようでモーメント・・・。そういう解き方もあるのですね。文章だけでは難しい質問、答え方ながらもわかりやすい解説ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/18 21:39

自身はありませんが3:1のような気がしますね


解析的に求めるのが一番ではないですか?
四面体の一つの頂点をCとし
四面体のもう一つの頂点をAとし
CとAと「Cから引いた重心を求める直線」を含む平面と四面体の断面の三角形を△ABCとする
△ABCにおいて
点Aを(0,0)とし
点Bを(γ,0)とし
点Cを(α,β)とすれば
四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・
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この回答へのお礼

四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・
そうなんですか?知らなかったら自分があほですね。
文章では難しい質問ながらありがとうございました。

お礼日時:2002/03/18 21:45

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Q四面体における重心

四面体ABCDの頂点Aから底面に引いた垂線AHは
この四面体の外接円の中心によって
2:1に分けられるのですよね?

これはこの四面体の形によらず成り立つのでしょうか・・?

高校数学の三角比の分野です。。お願いします。

Aベストアンサー

まず、一般に四面体にも三角形と同様に外心、内心、重心、傍心が存在します。
しかし、垂心(各頂点から対面へ下ろした垂線の交点)は必ずしも存在しません。
垂心が存在するのは、直辺四面体と呼ばれる3組の対辺がそれぞれ垂直である四面体に限られます。
そして、重心(各頂点と対面の三角形の重心を結ぶ直線の交点)は頂点と
対面の三角形の重心を結ぶ直線を頂点側から3:1に内分します。

math_techさんが言われているのは正四面体のことだと思いますが、
正四面体では、垂心・外心・重心が一致するので垂線は重心を通り、
「四面体ABCDの頂点Aから底面に引いた垂線AHは
この四面体の外接球の中心(重心でもある)によって
3:1に分けられる」と言えます。

Q正四面体の重心を…

 次の問題がわかりません。教えてください。
 正四面体のすべての重心を結んでできる図形の体積の元の正四面体の体積に対する割合を求めましょう。同様に、表面積についてもその割合を求めましょう。

Aベストアンサー

正四面体の一面である正三角形の高さと重心の高さを比較します。
正三角形をABCとして,
AからBCへの垂線を下ろした点をDとします。
すると,
AD:DB=√3:1
そして正三角形の中心をMとすると,
BDMはADBと相似なので
BD:DM=√3:1
ということで
AD:DM=3:1

高さが3分の1で相似の正四面体ですから,
体積比は27分の1となりんす。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q体心立方の四面体空隙

格子定数aの体心立方構造の四面体空隙に入る最大の剛体球の求め方を教えてください。

Aベストアンサー

1.体心立方の構成球の最大半径を求める。
立方体の対角線。
2.四面体空隙の重心はわかっているようだから、ここから各頂点までの距離を求める。すべて等しいはず。
ピタゴラス。
3.この距離から構成球の半径を引けば、四面体空隙に入る最大の剛体球の半径が求まるのじゃないか。

Q四面体の体積を求める際の、高さの求め方。

四面体ABCDがある。 AB=BC=3 BD=1 AD=2√2 AC=2√5 CD=2√3 である時、四面体ABCDの体積Vを求めよ。

体積(V)=底面積×高さ×1/3 
「高さ」を求められず、この式が使えません。

解答では、「△BCDを底面とすると、ADが高さになる。」…とありますが、底面△BCDから頂点に伸びる線は3本あり(AD、AC、AB)、なぜ、ADが「高さ」になるのか、わかりません。

正四面体であれば答えられるのですが、この問題は考えてもまったく分かりませんでした。

教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

△DABと△DACとでピタゴラスの定理が成立します。
AB^2=DA^2+DB^2
AC^2=DC^2+AD^2
したがって
∠ADC=∠ADB=∠R (直角)
△BCDの平面上の交差する直線DBと直線DCに直線(線分)ADは直角だから、
点Dは頂点Aから底面BCDに下した垂線の足といえるわけです。
つまり底面BCD、頂点Aの四面体の高さがADの長さになるということです。

Q正四面体

「正四面体の頂点から底面に垂線を下ろすと、その垂線は底面である正三角形の重心を通る」は証明できるのですが、「正四面体の一つの面をSとすると、面Sの重心と面Sに対する頂点を通る直線は、面Sに垂直に交わる」はどうやったら証明できるのでしょうか。
教えてください。

Aベストアンサー

正四面体をOABCとし,Oを原点として
A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれa,b,cとする.
正四面体の一辺の長さを1として一般性を失わない.

このとき,ベクトルgをg=(a+b+c)/3とする.
このベクトルgが平面ABCと直交することを示せばよい.
つまり,
a-bとg,b-cとgの内積が0であることを示せばよい.

正四面体であることより
(a,b)=(b,c)=(c,a)=1/2
|a|=|b|=|c|=1
だから
(a-b,3g)=(a-b,a+b+c)=|a|^2+(a,b)+(a,c)-(b,a)-|b|^2-(b,c)
=0
(b-c,3g)=0も同様

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


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