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素数を小さい順にp(1),p(2),,,とします。
{p(m)-p(n)|m>n}、
{p(m)+p(n)|m≦n}、
{p(m)+p(n)|m<n}、
{p(n+1)-p(n)|nは自然数}、
{p(n+1)+p(n)|nは自然数}、
などを考えます。
目的は、素数に関する様々な定理や予想をそれらで言い換えたいのです。
双子素数は無限個ある(双子素数予想)
⇔{p(n+1)-p(n)|nは自然数}において、p(n+1)-p(n)=2となるnは無限個
♯そうすると疑問に思うのは、
たとえば{p(n+1)-p(n)|nは自然数}のある偶数の元について、それを満たすnが有限個のものは存在するのでしょうか?
初項aと公差dが互いに素であるような等差数列のなかに素数が無限に存在する(算術級数定理)
⇒{p(m)-p(n)|m>n}において、p(m)-p(n)="dの倍数"となる(m,n)は無限個
♯そうすると疑問に思うのは、
たとえば{p(m)+p(n)|m>n}において、p(m)+p(n)="dの倍数"となる(m,n)は無限個でしょうか?
♯これはd=2であれば明らかに正しそうです。
d=3とかのときはどうなのでしょう?
♯さらに、2つの合成数の差の集合、または、和の集合とかを考えたときに、成り立つ定理、予想される事実はあるのでしょうか?
♯こういった言いかえができる定理とかは他にありますでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
下のサイトに素数に関していろいろなことが書いてあります。
http://primes.utm.edu/
最近素数の最大記録が更新されたようです。980万桁以上だそうです。このサイトによると
p(n+1)-p(n)=2kとなる素数があるかは未解決です。
またゴールドバッハ予想は17より大きい整数は3つの異なる素数の和にかけることと同値だそうです。
参考URL:http://primes.utm.edu/
No.1
- 回答日時:
p(m) + p(n) が d の倍数となる m, n の組が無限個あることは, 算術級数定理から明らかなような....
a と d が互いに素なら d-a と d も互いに素なので, 数列 { a + nd }, { (d-a) + nd } はどちらも無限に多くの素数を含みますよね?
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