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はじめまして。大学一年生です。偏微分について教えて下さい。

次の関数z=f(x,y)のグラフのxy平面、yz平面による切り口の図形をかけ。

z=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

なのですが、x、yに0を代入してz=1という答えがでたのですがどうやって図示すればいいのかわかりません。

どのように図形をかけばいいのでしょうか??

A 回答 (6件)

yz平面による切り口:


z=(x0^2-y^2)/(x0^2+y^2) から
z・(x0^2+y^2)=x0^2-y^2
x0を定数として、上の式のzを、yを変数とする式で表わす。
z=(x0^2-y^2)/(x0^2+y^2)
={-(x0^2+y^2)+2・x0^2}/(x0^2+y^2)
=-1+(2・x0^2)/(x0^2+y^2)
故に、z=-1+(2・x0^2)/(x0^2+y^2)

これは、x0をパラメーターとする曲線群を表わす。
x0=0の時は、z=-1 (y軸に平行な、高さが-1の直線を表わす)

xz平面による切り口の図形も、上と同様に、yを定数y0とすればよい。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2006/10/08 21:11

(X,Y,Z)の組み合わせを、3点以上座標上にプロットすれば分かってくるはずです。

どんな図形になるか考えながら、点を打ち続けてみてください。
答えは簡単に見つかるはずですよ。
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xz平面の場合も同じようにすればよいのです。


z=(x^2-y0^2)/(x^2+y0^2) をグラフ化します。
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x軸を左から右へ向かう方向、y軸を前に進む方向、z軸を上に向かう方向に取ります。


xy平面は地面に平行な面です。地面からある高さにおける平面のことです。
その高さを z0 とすると、その平面における切り口は、z0=(x^2-y^2)/(x^2+y^2) という
式で表わされます。z0 を定数として、xとyの関係式をグラフ化するのです。
同様に、yz平面における切り口は、右へ x0 進んだ所において立つ平面において
z=(x0^2-y^2)/(x0^2+y^2) という式で表わされるグラフです。この場合も、x0 を定数
として、zとyの関係をグラフ化するのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

>zとyの関係をグラフ化するのです。

これは具体的にはどうなるのでしょうか?
z=1というyz平面上の直線なのでしょうか?

お礼日時:2006/10/08 05:17

「xy平面、yz平面による切り口の図形をかけ」というのは、


xy平面: つまりz=0
yz平面: つまりx=0
での行状を別々にかけ、ということなのでは ... ?

この回答への補足

すみません、質問をまちがえていました。xz平面とyz平面でした(>_<)

xy平面ではy=0を代入
yz平面ではx=0を代入し、

それぞれz=1,z=-1という答えは出ましたが、どうやって図示すればいいのか。どのような切り口になるのかがわからないんです(>_<)

補足日時:2006/10/07 20:19
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私には、これがなぜ、偏微分の問題なのかわかりませんが、xy平面による切り口は、z=f(x,y)で,z=0と置いたもの、yz平面による切り口は、x=0と置いたものだと思います。

この回答への補足

偏微分の教科書にのっていたのです。

そこまではわかるんですが、どのように図示すればよいのかを知りたいです。

補足日時:2006/10/07 20:17
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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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