新規会員登録における電話番号登録必須化のお知らせ

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
S:円柱面 y^2+z^2=4
0≦x≦1
z≧0
のとき、次の面積分を求めよ。
∫_[S](xi+yj+zk)・dS

この問題なのですが、
z^2=4-y^2≧0
y^2≧4
-2≦y≦2
くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。
この後はどうすればいいのでしょうか。
今まではこの後に
z=f(x,y)
とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので…
よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,


積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.

これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.


■円柱の底面 (x=1)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.

これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.


■円柱の底面 (x=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.

∴ I3 = 0.


■カマボコの底面 (z=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.

∴ I4 = 0.

したがって全体の面積分は I1+I2+I3+I4 = (3/2)πr^2 = 6π.

答え合ってますか?

この回答への補足

回答ありがとうございます。

自分にもどこを積分するのかわからないのですが、問題文には
「S:円柱面 y^2+z^2=4」
とあるので、"円柱面"といわれる場所を積分するのだと思うのですが…y^2+z^2=4の部分が"円柱面"なんでしょうかね?
また、略解には
n=(y/2)j+((1/2)√(4-y^2))k;4π
とありますが、自分には法単位ベクトルnの出し方も今一つわからず…
よろしくお願いします。

自分もとりあえずご回答を参考にまた挑戦してみます。

補足日時:2006/11/16 00:27
    • good
    • 1
この回答へのお礼

見落としていたヒントとやらがあったので一応載せます。


曲面S:z=f(x,y)をxy平面上に正射影して得られる領域をD、Sの法単位ベクトルをn↑とすると次が成り立つ。

1.dS↑=(-z[x]i↑-z[y]j↑+k↑)dxdy

2.∫_[S]A↑・dS↑=∫_[D](A↑・n↑/n↑k↑)dxdy

本問のSやnとは違うかもしれないですが。
また、ベクトルを表すために文字の後に↑を入れてみました。
よろしくお願いします。

お礼日時:2006/11/16 01:10

> また、略解には


> n=(y/2)j+((1/2)√(4-y^2))k;4π

やはり半円柱の側面だけのようですね.最後の4πが答えです.
(#1 の I1=πr^2 で r=2 なので.)

X軸を中心とする円柱の側面の外向き法線は,X軸に垂直で,
X軸上の1点から放射状に伸びる線です.
従って単位法線ベクトルは #1 に書いたとおり,
(0, cosθ, sinθ) = (0,y/r,z/r)
= (0,y/2,z/2)
= (y/2) j↑ + (z/2) k↑
= (y/2) j↑ + (1/2)√(4 - y^2) k↑.


> 見落としていたヒントとやらがあったので一応載せます。

ヒントについてはまた後でコメントするつもりです.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

お返事が遅くなってしまいすみません。
なんとかわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2006/11/30 21:54

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング