キャリアには自由電子と正孔があるということなんですけど、自由電子が抜けた穴が正孔なんですよね?その時自由電子に質量があるのはわかるんですけど、正孔にも質量があるのはナゼ?正確には有効質量かもしれないんですけど、それでも自由電子の有効質量と、正孔の有効質量が異なるのはナゼですか?

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A 回答 (2件)

私も正孔は不思議です。


半導体デバイスの動作では、正孔は全く電子と同等に振る舞います。自由電子と全く同じ存在感があります。正孔(Hole)は電子が抜けた穴(孔)という説明では、どうも実感がわきません。
有効質量という概念についてもイメージが掴めません。例えば、電子の有効質量は、いずれの半導体でも電子の質量よりも小さいですが、原子の集合体の中を動く電子は真空中よりも動き難いだろうから、実効的な質量は自由電子よりも大きいと考えるのが自然ではないでしょうか。常識でないことが起こっているのが量子力学の世界なのかも知れません。それならば、漫画チックなモデルでもいいから、何故、そのようなことが起こるのかという説明があってしかべきだと思います。
また、以下に述べる事柄の説明を探しても見つけることができませんでした。

(1) バイポーラトランジスタとかpnダイオードが大電流密度動作をしている際には、平衡状態の4桁以上の電子と正孔が(ほぼ同数)同時に存在する状況が珍しくありません。正孔が単なる孔ならば、なぜ電子が速やかに穴に落ち込んでしまわないのでしょうか?

(2) 電界(E)中の電子とか正孔の振る舞いは、運動量緩和時間(τ)と有効質量(m*)をパラメータとしてドリフト速度(vd)で特性づけられます。(ドリフト速度は、大まかには有効質量に反比例しているといえます)
vd=μ・E= (q・τ/m*)・E  (μ:ドリフト移動度, q:電荷素量)
電界(E)が大きくなると、両者のドリフト速度(vd)は電界強度に依存しない一定値(飽和速度)になります。正孔のドリフト速度(vd)は電子よりも一般に遅い(シリコンの場合は約1/3)のですが、飽和速度は電子とほとんど同じです。
正孔が穴ならば、エネルギーの高い状況で、電子との挙動の差は大きくなると思うのですが...。
(数~数十Kの極低温では、両者のドリフト速度(vd)もほぼ同じ値になるという実験データの報告もあります)

(3) いっそう電界(E)が強くなると、運動エネルギーが大きくなった電子や正孔は、半導体原子に衝突しては最外殻電子を電離します。正孔が電子の穴であるならば、当然、この現象の頻度は正孔よりも電子の方が大きいと思えます。確かにシリコンではそうなってますが、ゲルマニウムとか最近話題のSiC(シリコンカーバイド)では、正孔の頻度の方が大きいのです。

大げさな話になりますが、量子力学の素人に対しては、半導体中での電子と正孔の関係は、真空中での電子と陽電子の関係と対比しての説明があってしかるべきと思います。陽電子は、始めは「(電子の一杯つまった)真空中の孔」という説明がなされてました。この説明は、各々の素粒子に対して一般的に反粒子が存在することが明らかになって、妥当でないとされたそうです。
私は、現在の「正孔(Hole)は電子が抜けた穴(孔)」というモデルは、陽電子の初期モデルのように何か本質的な要素を見逃しているように思えます。
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バンド構造と関係しているからです.


2つ(以上)のバンドが関与する場合は,一般に違う有効質量をもった2種類(以上)の
正孔があらわれます.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=226205
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=77034
の私の回答をご覧ください.
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Q有効質量とバンド質量

はずかしながら、先日まで”有効質量”と”バンド質量”を同じものと
思っておりました。ある文献で、「有効質量とバンド質量の比」という
言葉に出会い、両者は異なるものであると分かりました。
有効質量が質量テンソルで表されることは知っております。
バンド質量はどのように定義されるのでしょうか。

Aベストアンサー

有効質量とは、結晶中の伝導電子がもつ実効的な質量(理化学辞典より)。
有効質量は、様々な効果の結果生じるもので、そのうちの一つがバンドの効果です。バンド質量は、
 (1/m*)_ab = h^(-2) (∂^2E/∂k_a∂k_b) (a,b=x,y,z)
 (ただしh はエイチバーのこと)
で与えられます。これもテンソルですね。
有効質量は、バンドの効果以外に電子間相互作用、電子格子相互作用の影響も受けます。「有効質量とバンド質量の比」というのは私も聞いたことがあります。その話はたぶん重い電子系だと思います。重い電子系では、有効質量は元の質量の1000倍にも達する場合がありますが、それは主に電子間相互作用によるもので、バンドの効果はあまりありません。このときの電子間相互作用の効果の割合を見積もるのに「有効質量とバンド質量の比」という形で表したものだと思います。

Q電子と正孔の有効質量について

正孔と電子を比べると、前者のほうが有効質量は重いわけで、
移動度∝緩和時間/有効質量
の式から、通常、正孔のほうが移動度が小さくなります。
緩和時間は不純物やフォノンとの散乱を考えるわけですが、
重い正孔のほうがフォノンと散乱しやすいということはあるのでしょうか?
あるのだとすると、どうしてそうなるのでしょうか?
ご教示、どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

私は難しい問題だと思います。
単純に重いホールor軽いホールのどちらかのほうがフォノン散乱を
受けやすいと結論することは出来ないと思います。
しいて言うなら、私は軽いホールの方が散乱確率が増すのではないかと
考えます。(あくまで私が考えた結果で、参考意見です)
間違っているかもしれませんが、議論の助けになれば幸いです。

まず飽和速度が関係するような高電界域ではなくて、
ドリフト速度と印加電界が比例する低電界域を前提にします。(Vdrift=mobility x 電界 が成り立つ領域)
このときフォノン散乱の主因は音響フォノンです。
音響フォノン密度は高エネルギーの方が高密度となります。
つまり高い運動エネルギーを持ったキャリアのほうがフォノン散乱を受けやすいことになります。
軽いホールと重いホールのどちらの方が高い運動エネルギーに達しやすいかを
考えると、軽いホールの方が散乱を受ける前に短時間で高エネルギーに達すると思います。
このため軽いホールの方が音響フォノンを吐き出し緩和する可能性が高いように思えます。
どちらが散乱されやすいかというのは単純に有効質量だけで議論できず、私は複雑だと思います。

私は難しい問題だと思います。
単純に重いホールor軽いホールのどちらかのほうがフォノン散乱を
受けやすいと結論することは出来ないと思います。
しいて言うなら、私は軽いホールの方が散乱確率が増すのではないかと
考えます。(あくまで私が考えた結果で、参考意見です)
間違っているかもしれませんが、議論の助けになれば幸いです。

まず飽和速度が関係するような高電界域ではなくて、
ドリフト速度と印加電界が比例する低電界域を前提にします。(Vdrift=mobility x 電界 が成り立つ領域)
このと...続きを読む

Qバンド帯、有効質量

負の有効質量

有効質量について勉強していて
根本的に分かってない部分も多いのですが、半導体の価電子帯を勉強してました。
そこでE-k曲線が上に凸をむくので頂点付近は有効質量は負になる、そこは納得しました。
-x方向に電界Eをかけた場合電子が+x方向に動く。しかし有効質量が負なので電界と電子の動く向きが同じ、
つまりは正の有効質量と正の電荷である正孔が動いていると見える(省略あり)。とのことですが
ここでよくわからない点があります。
教科書等の説明で-k方向に電界Eかけたらなぜ電子は+kに動くのですか?電子の有効質量が負というなら電子自体が実際とは逆に動くように思うのですが。もしくは有効質量が負というのは熱励起してホールとなった部分だけなんでしょうか?
電界を-k方向にかけて逆に電子(マイナス)が+kに動くので抜け穴(正孔)が反対に動く。でもそれだと’電子’は負の有効質量ではないということになるんですが。
それとk空間で-kに電界かけてもxyzだとどうなるのかがk空間の勉強不足なのでわかりません。
教科書や
www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=DownLoad&file=200927128-28-0-49.pdf&type=cal&JWC=200927128
を参考にしました。

負の有効質量

有効質量について勉強していて
根本的に分かってない部分も多いのですが、半導体の価電子帯を勉強してました。
そこでE-k曲線が上に凸をむくので頂点付近は有効質量は負になる、そこは納得しました。
-x方向に電界Eをかけた場合電子が+x方向に動く。しかし有効質量が負なので電界と電子の動く向きが同じ、
つまりは正の有効質量と正の電荷である正孔が動いていると見える(省略あり)。とのことですが
ここでよくわからない点があります。
教科書等の説明で-k方向に電界Eかけたらなぜ電子は+...続きを読む

Aベストアンサー

まず、"運動量(k)の方向に物体が動く"ことは無意味です。"電界をかけたらkの方に動く"というのは、多分"電界をかけたらkが変わる"ことを書き間違えているのでしょう。電子(物体)が動くのは、あくまで実空間(x, y, z方向)です。

上向きと下向きの双曲線のバンド図(E-k図)が示している最も単純な意味は、∆kの変化によって、電子と正孔のエネルギー(E=mv^2/2)の変化量(∆E)が逆であることです(k=0からだと電子のエネルギーか増えるのに対し、正孔のエネルギーは下がる)。正孔はそういう特性を有する"粒子"なのです。

そうすれば、電界(EF)中を移動すれば、電子なり正孔のエネルギー(m v^2/2)は(q EF ∆x)だけ変化します。∆xが同じだとしたら、電子と正孔ではqの負号が逆でなければなりません。
すなわち、力学的なエネルギー(m v^2/2)と電気エネルギー(q EF x)を整合さすためには、正孔の電荷(-q)は電子と逆負号でなければなりません。
ここまでが、バンド理論からの要請だと思います。すなわち、"正の電荷を持ち、(奇妙にも)負の質量を持った粒子"が要請されている訳です。

次に、これをどう解釈するかです。
電子の占め得る空席があって、電界が掛かった時にこれを順に電子が埋めて行くと、あたかも"正電荷"が電子と反対方向に動いているように見えると、よく説明されています。
それなら、電子だけを考えているのだから、(あなたのいうように)負の有効質量を考える必要はありません。
しかし話は逆でして、これは先の"正の電荷を持ち、奇妙にも負の質量を持った粒子"を説明する手段です。説明には良く分かった物を使わねばならないので、電子が持ち出されているだけです。
ともかくも、この電子の玉突き運動は、"電界が掛かった時に正電荷が電子と逆の方向に移動する"ことを説明しているだけです。
ところが、正孔は(力学的)エネルギーも有しているので"重さ"も持ってなければならないのですが、"電子の玉突き運動"ではこの"重さ"を説明することが出来ません。

ちなみに、正孔を説明する際に、価電帯に電子が詰まっていると正味の電流が流れないことに関係づけた説明がよくなされてます。
k=0に対して対称的なE-k図が成り立つならば、価電帯を満たす全ての電子の運動量が同じ∆kだけ変わっても、+∆kと-∆kが相殺されて運動量は変わらない。電子による電流も変わらない。そこに、電子の穴が一つあったら、電子1個分の同じ電流が電子と逆方向に流れる。そのことをもって正孔による電流と考えれば良いとする説明です。
これは、電気的な運動の説明に過ぎません。
"重さ"については、説明になってないどころか、むしろ深刻な矛盾があります。価電帯の全電子が動いたとするならば、運動量の総計は変わりませんが、運動エネルギーの総計は大きく増えるからです。このため、価電帯の全電子が移動することはあり得ないし、仮想的に考えることも無意味だと思います。

結局、かつて(1930年頃)電子とほぼ同じ"質量"と全く同じ"電荷の大きさ"を持ち、力学的にも電気的にも"電子とは逆の方向に動く粒子"の存在が理論的に要請されて、それを"正孔"と名付けたのです。
そして、この粒子を現在の教科書は的確に説明しておりません。今日まで、量子力学は摩訶不思議であるというお題目に逃避したままなのだと思います。

初心に立ち返り、"力学的にも電気的にも電子とは逆の方向に動く機構"を分かり易く説明する試みがあっても良いのではないかと思います。

まず、"運動量(k)の方向に物体が動く"ことは無意味です。"電界をかけたらkの方に動く"というのは、多分"電界をかけたらkが変わる"ことを書き間違えているのでしょう。電子(物体)が動くのは、あくまで実空間(x, y, z方向)です。

上向きと下向きの双曲線のバンド図(E-k図)が示している最も単純な意味は、∆kの変化によって、電子と正孔のエネルギー(E=mv^2/2)の変化量(∆E)が逆であることです(k=0からだと電子のエネルギーか増えるのに対し、正孔のエネルギーは下がる)。正孔はそういう特性を有する"粒子"なのです。
...続きを読む

Q正孔の有効質量とは

半導体の教科書に正孔の有効質量と出てきました
正孔は電子がない状態を表すので質量は0ではないのですか?
わかりません

それと、具体的なその値も教えていただければ
うれしいです

Aベストアンサー

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電界Eによる力ももちろん受けますが、それだけではなくて、結晶中の電子は、周期的に並んでいる原子核から力(本当は量子力学を考えているので、「力」という言葉を使うのはかなり語弊があるのですが)からも力を受けています。しかも、結晶ですから、原子核は近いのから遠いのまで大量にあります。
なんで、結晶中の電子の運動は、実際には、上に書いたような簡単な式では表わすことができません。

な、はずなんですが、実は、うまいこと近似をすると、結晶の原子核たちから受けている力をすべて忘れてしまって、その代わりに、電子の質量がmではなくて、m'になったと思ったような式
F = qE = m'a
で、結晶中の伝導電子の動きが(近似的にですが)記述できてしまうということがわかったんです。本当は、結晶中のすべての原子を考えて、さらに量子力学を考えなければ、結晶中の伝導電子の動きは記述できないはずなのに、実は、それが、古典力学の式で、質量の値を有効質量というものに取り替えると、近似的には、電子が真空中に1個あるのと同じように扱えてしまう、ということです。これを、準古典力学表示 と言っています。
この有効質量というのは、電子の質量というよりは、むしろ、結晶を構成する原子や、結晶の構造によって決まっています。

で、正孔の有効質量ですが、これも、質量となってますが、本当の質量とはほとんど関係ないです。正孔は、本当は電子が抜けた穴なわけですが、その電子の抜けた穴がどう動いていくかを量子力学をつかってきちんと記述するかわりに、ある有効質量をもった+電荷を持つ正孔という粒子が真空中に1個あると思って、古典力学の式を立てると、たまたま、うまくいってしまうんです。

ただし、この準古典力学は、あくまで近似なんで、本当は正しくありません。正確に言えば、ポテンシャル関数の極値の周りでしか成り立ちません。なんですが、半導体では、普通、価電子帯の中で一番エネルギーが高い電子(ポテンシャル関数が極大値を取るところ)と、伝導帯の中で一番エネルギーが低い電子(ポテンシャル関数が極小値を取るところ)、にしか興味がないことが多いので、たいていうまく行ってしまいます。

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電...続きを読む

Q摂動論の適用限界ってどのくらい?

量子力学の摂動論について質問です。
摂動H'がHに比べて十分小さい時摂動論の適用が可能だといっていますが、実際どの程度のオーダーまで可能なんでしょうか?

先生に聞いた話では、摂動によって波動関数ψk,エネルギーEokが変化するが、変化後の波動関数ψk’が摂動前の他の固有状態のEq(k≠q)と同じような値をもつほど変化させることはできない、そんな大きい変化は摂動として取り扱えないんじゃないかという事でした。

また、系が縮退しているときには1次摂動の波動関数の係数が発散してしまうとあったんですが、これも適用限界ですか?

Aベストアンサー

摂動の適用範囲の明確な理論はしりません。数学的にそのような理論が存在したとしても実際の物理の応用で摂動の適用限界を与えるほど高度な理論は無いと思います。非常に大事なことなんでしょうが、実用的な適用限界に関する数学的理論を得るにはまだまだ時間がかかると思います。

よくやるのは摂動項をいれて補正が小さければよいだろうという事くらいだと思います。または数値的に問題が解ける場合はそういった他の方法で確認します。摂動の高次を計算したときも補正があまり大きいとおかしいというだけで、厳密な理論はないと思います。

これらの問題は量子力学に限らず古典力学でもありますが、やはり一般解が得られていない場合は非常にデリケートな問題です。最近は数値的にやる事が多いですが、摂動で解の振る舞いを予想できる場合には数値解析する場合でも大きな助けになりますからあなどれません。つまり摂動計算を100%信用するのは危ないが、それでも非常に役に立つという感じでしょう。

また摂動で答えが出てきたからといってそれが全てだと誤解してはいけません。なぜなら摂動では得られない効果が存在することが知られています。そういった例では古典近似(WKB法)などで解を求めます。得られたWKB法の解(これも近似解)の周りで摂動を計算するというのがよくやられる方法です。

縮退がある場合の摂動法は存在します。普通のテキストなら縮退がある場合の摂動という章が存在すると思いますのでそちらを参考にしてください。

摂動の適用範囲の明確な理論はしりません。数学的にそのような理論が存在したとしても実際の物理の応用で摂動の適用限界を与えるほど高度な理論は無いと思います。非常に大事なことなんでしょうが、実用的な適用限界に関する数学的理論を得るにはまだまだ時間がかかると思います。

よくやるのは摂動項をいれて補正が小さければよいだろうという事くらいだと思います。または数値的に問題が解ける場合はそういった他の方法で確認します。摂動の高次を計算したときも補正があまり大きいとおかしいというだけで、...続きを読む

Q自由電子とホール(正孔) 、「正電荷と負電荷」の考え方

自由電子とホール(正孔) 、「正電荷と負電荷」の考え方
 

 コンデンサに直流電圧をかけると、金属中の自由電子
の分布が偏り両極間に相対的に電荷(静電場)が生じま
すね。

このとき、金属内の原子から自由電子が移動して抜けて
しまった部分をホール(正孔)と呼ぶと習いました。

これは金属内で自由電子という質量をもつものが移動し
た結果と思います。
この場合、自由電子の負電荷量とその抜け穴の見かけ
の正電荷量は作用と反作用の関係に相当しますから同
等にならざるを得ませんよね。

一方、原子核と電子はそれぞれの正電荷と負電荷が拮
抗し見かけ上中性を保っている状態と考えてよいですか?

仮に水素原子(陽子1個、電子1個)を考えた場合、陽子
はあくまで陽子、電子はあくまでも電子ですね?

その場合、

  (1)陽子の正電荷は負電荷の抜け穴(正電荷ホール)
   と考えるべきで見かけ上のものなのか?

  (2)それとも負に対し「正の電荷」というものがあると考
   えるべきなのか? どちらでしょうか?

    
  (1)である場合「正電荷」とは単に「負電荷」に対する
  反作用ということかと思います。(当然正負の絶対
  値は同等になるかと..)

   しかしそれでは電子が単独でポツンとある場合で
   も、その負電荷相当の正電荷が反作用として現れ
   なければならないと思いますが実際はそうならない
   ですよね。

  (2)である場合、陽子の電荷と電子の電荷の間のどこ
   かの中性値を基底に正負に振動でもしていない限り
   正負の値が必ずしも同等にならないと思えます。

   しかしそれでは電子が単独でポツンとある場合、中
   性点が無くなり振動はできないので負電荷単独で現
   れることができなくなってしまいます。
     
   質量のある自由電子と異なり電荷自体はポテンシャ
   ルエネルギーのようなもので質量があるとは思えない
   ので「ある種の中性状態からの偏り」ならば中性に対
   して「正の電荷」、「負の電荷」があってもよい、つまり
   (2)でもよいようにも思えますが...

   (但し、なぜ正負の素量が同じ値をとるのかという謎は
   残りますが...「何故」には答えられないことが多い)
    
   この質問箱で似たような質問と回答を拝見したのですが、
   どうも、「自由電子とホール(正孔)」、「正電荷と負電荷」
   の違いがゴッチャになっているような気がしましたが..
   いかがなものでしょう?

自由電子とホール(正孔) 、「正電荷と負電荷」の考え方
 

 コンデンサに直流電圧をかけると、金属中の自由電子
の分布が偏り両極間に相対的に電荷(静電場)が生じま
すね。

このとき、金属内の原子から自由電子が移動して抜けて
しまった部分をホール(正孔)と呼ぶと習いました。

これは金属内で自由電子という質量をもつものが移動し
た結果と思います。
この場合、自由電子の負電荷量とその抜け穴の見かけ
の正電荷量は作用と反作用の関係に相当しますから同
等にならざるを得ませんよね。

一方、原...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず結論から、
<<「正電荷」は「負電荷」の抜け穴と考えのが正しいのか
<<「正電荷」と「負電荷」は別個のものと考えるのが正しいのか

一般的には
「正電荷」と「負電荷」は別個のものと考えるのが正しい。
ただし電子とホールの場合には
「正電荷」は「負電荷」の抜け穴と考えるのが正しい。


正電荷・負電荷の対として
(1)自由電子とホール、(2)電子と陽子、(3)電子と陽電子などを考える時、
陽子、陽電子は「正電荷」ですが、
ホールは「見かけの正電荷」です。
ホールが特殊な考え方なので、その他の正電荷と一緒にして考えないほうが良いと思います。

(いや、ディラック方程式から考えると・・・とか他の回答者さんから反論が来そうですが
ややこしくなるので・・・)

本物の正電荷である原子核は移動できませんが、例えばペットボトルの中の泡のように
電子が足りない部分を粒子のように移動させることは出来ます。
これが大雑把な、ホールという「キャリア(電荷輸送の担い手)」の概念です。

「ホールは電子が抜けた孔」というのはすこぶる正しいですが、
それなりに複雑な仕組みを端的に言い表したものなので、その言葉だけで判断するとおかしなことになります。
ホールとは何かここで説明するのは難しいですが、(図で説明されないと分からないと思います)
ホールの仕組みについて説明しているサイトは山ほどあるので調べてみてください。


それと、正電荷、負電荷はそれぞれ単体で存在できるので総量が0になる必要は必ずしもありません。
電子は電子、正電荷がないところでも存在できます。
実際にはクーロン力で引き付け合ってペアになりますから、中性の状態が普通ですが。

陽子の電荷が電子と等しい理由は、
陽子が電荷が2/3eのアップクォーク2つと-1/3eのダウンクォーク1つから構成されるから・・・
では答えになってないですね。すみません、勉強してきます。

一応質問者さんの思うところを類推しているつもりですが良く分からなかったのが1点。

電子に質量があるかないかをしきりに気にしているようですが、論点とどう絡んでいるんでしょう?

とりあえず結論から、
<<「正電荷」は「負電荷」の抜け穴と考えのが正しいのか
<<「正電荷」と「負電荷」は別個のものと考えるのが正しいのか

一般的には
「正電荷」と「負電荷」は別個のものと考えるのが正しい。
ただし電子とホールの場合には
「正電荷」は「負電荷」の抜け穴と考えるのが正しい。


正電荷・負電荷の対として
(1)自由電子とホール、(2)電子と陽子、(3)電子と陽電子などを考える時、
陽子、陽電子は「正電荷」ですが、
ホールは「見かけの正電荷」です。
ホールが特殊な考え方なので、その...続きを読む

Q有効質量について教えてください。

「有効質量」は「質量」とどう違うのでしょうか?

また、「有効」の意味は何なのでしょうか?

Aベストアンサー

siegmund です.

半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
運動方程式など作ってみると,(2)の定義が妥当であることを示すことができます.
詳細は後述の参考書などごご覧下さい.

一般には,半導体のバンドは異方的なので
(4)  (1/m*)μν = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dkμ dkν}
で有効質量が定義され,テンソル量になっています.
μ,ν = x,y,z です.

特定の電子の速度などが測定できるわけではありませんから,
運動方程式から直接有効質量を測定しようというのは無理です.
半導体中電子の有効質量を測定する手段として有名なのは,
サイクロトロン共鳴,ド・ハース‐ファン・アルフェン効果などが有名です.

有効質量の考え方はバンド構造と共に半導体の基本ですから,
マスターされるようにおすすめします.
今,手元には半導体の専門書が見あたりませんが,
キッテルの「固体物理学入門」にはある程度記述があります.

siegmund です.

半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
運...続きを読む

Q原子に束縛された電子が自由電子になる過程について

2,3日前に「エネルギーE=(h~k)^2/(2m)について」という質問をさせてもらいました。エネルギーEの正負の事とそれに関連する内容で理解できない事があります。

バンド構造では価電子帯から励起された電子が伝導帯へ移る事で電流が流れるという記述で、あまり価電子と自由電子の振る舞いについて書かれていなかったのですが、ただ私はてっきり、全ての元素に対してボーアの水素原子モデルのようにE=-A/n^2 (Aは定数)のように量子数nで不連続な値をとるエネルギーの式があるのかと思っていました。もしかして水素原子にしか無いのでしょうか・・・。
【衝突電離のように原子(電子)を大きく励起させてn→∞でエネルギーE=0になりイオン化して、軌道から離脱した後の電子のエネルギーの大きさがE=(h'k)^2/(2m)のように固体中の自由電子のエネルギーとなるのかと思っていました。つまり束縛電子E(<0)→大きく励起→イオン化E=0→自由電子E(>0)と、光電効果でいう仕事関数を引いた分が自由電子のエネルギーとしてE(>0)だけ残ると考えていました。】
この考えが以前質問した、元は離散的な値をとる電子のエネルギーE=-A/n^2 が固体では原子が密集してエネルギー準位が連続的になり、その値がE=(h~k)^2/(2m)で表せると思っていた理由です。

例えばFe金属固体中のある1つのFe原子Aが大きく励起されて、電子が軌道から離れて自由電子となり、また別のFe原子Bの軌道内に入って安定するか原子核に衝突するかでエネルギーを失う。また再び電子が励起されて…を繰り返して電子が移動する。これが定常電圧を掛け続けても電子が等速で移動し、定常電流が流れる過程だと思うのですがこの考え方はやっぱり変ですか?
電子が原子核によって散乱され運動エネルギーを失い、再び電場で加速されて…と電流が流れる過程については参考書の内容ですので間違ってはないはずですが、原子に束縛された電子が軌道から離れて自由電子となるまでの過程(【 】の内容の事です)は本に載って無くてよく分からず、勝手に思い込んでるだけなので自信がないです。

質問内容
1、E=-A/n^2のような形のエネルギー準位の式は水素原子以外の他の元素にもあるのか
2、上の【 】の考えは間違っているのかどうか
3、束縛された電子が軌道から離脱して自由電子となるまでのメカニズム

以上の点についてどなたか説明や訂正をお願いします。m(__)m
またそういった内容が詳しく書かれたサイトがあれば教えてもらえると非常にありがたいです。

2,3日前に「エネルギーE=(h~k)^2/(2m)について」という質問をさせてもらいました。エネルギーEの正負の事とそれに関連する内容で理解できない事があります。

バンド構造では価電子帯から励起された電子が伝導帯へ移る事で電流が流れるという記述で、あまり価電子と自由電子の振る舞いについて書かれていなかったのですが、ただ私はてっきり、全ての元素に対してボーアの水素原子モデルのようにE=-A/n^2 (Aは定数)のように量子数nで不連続な値をとるエネルギーの式があるのかと思っていました。もしかして水素...続きを読む

Aベストアンサー

間違えないようにしてください。

図はエネルギー主体の説明で、左の図の横軸の次元は[L](長さの次元)で、右上の図の横軸は[L^-1](端数の次元)です。

ポテンシャルエネルギーは距離、運動エネルギーは波数に依存するということから、両者は切り離して考えなければなりません。

Q電磁波を摂動項として考えるとき

光の吸収や放出を考えるとき、光(電磁波)を摂動項として考えています。摂動項とは非摂動ハミルトニアンに比べて非常に小さい物を選ぶと書いてあるのですが、電磁波は非常に小さいのですか?
どうやって小さいと判断したらいいのかわかりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

摂動展開は経路積分を使って導くのが標準的ですが、分かりやすさを旨としてold fashioned perturbation theory を述べます。電磁場がないときのハミルトニアンをH0、電磁場との相互作用をVとし、プランク定数を1にとるとSchroedinger方程式は
 idΨ/dt = (H0 + V)Ψ
ここでVは電荷eに比例します。
相互作用描像の波動関数ΨintをSchroedinger描像の波動関数Ψから

 Ψint(t)= exp(iH0 t)Ψ(t)

で定義すると容易に分かる様にΨintは
 idΨint/dt = V(t)Ψint(t)
 V(t) = exp(iH0 t)Vexp(-iH0 t)
を満たします。逐次代入法で解くと
 Ψint(T)
  = Ψint(0)-i∫[0~T]dtV(t)Ψint(0)
  +(-i)^2∫[0~T]dtV(t)∫[0~t]dt'V(t')Ψint(0)
  +…

となります。従って摂動展開は相互作用の強さeのベキ級数の形になります。観測される電子・光子の数を一定とすると、高次の摂動は最低次の摂動に観測されない内部電子・内部光子を付け加えたものになるので、最低次が2次なら、その次は3次ではなくて4次、6次…のようにe^2 のベキになります。
 e^2 = 1/137.04 ≡ α
は物理学の基本的な定数です(eは電子電荷1.6×10^-19Cとするとe^2は1/137にならないと思われるかもしれませんが、無次元化すると約1/137になるます)。漸近級数はパラメータが0に近い時始めの数項をとると良い近似になります。(前の回答でパラメータが1より小さい時とあるのはパラメータが0に近い時に訂正させて下さい)前の回答のURLのHTMLバージョンは図がうまくでないようなのでTom Heinzl,Strong-Field QED and High-Power LasersのPDFをダウンロードすることをお勧めします。

摂動展開は経路積分を使って導くのが標準的ですが、分かりやすさを旨としてold fashioned perturbation theory を述べます。電磁場がないときのハミルトニアンをH0、電磁場との相互作用をVとし、プランク定数を1にとるとSchroedinger方程式は
 idΨ/dt = (H0 + V)Ψ
ここでVは電荷eに比例します。
相互作用描像の波動関数ΨintをSchroedinger描像の波動関数Ψから

 Ψint(t)= exp(iH0 t)Ψ(t)

で定義すると容易に分かる様にΨintは
 idΨint/dt = V(t)Ψint(t)
 V(t) = exp(iH0 t)Vexp(-iH0 t)
を満たしま...続きを読む

Q有効質量テンソル

有効質量テンソルってどうゆうものですか??
文献があまりなく、困っています。
詳しく教えていただければありがたいです!!
お願いします!!

Aベストアンサー

>有効質量テンソルってどうゆうものですか??
文献があまりなく、困っています。

キッテルの固体物理学入門の「エネルギーバンド」の章をご覧になってください。概略を言えば次のようなイメージになると思いますが。。。結晶中の電子は周期的ポテンシャルの影響下にあり,この結果,外部から磁場や電場が加わった場合,電子は自由電子の質量mと異なる質量m*を持つかのようように振舞います。このm*を有効質量と呼んでいます。また,結晶が異方性を持つ場合,それが周期ポテンシャルの姿に反映されその結果有効質量はスカラーでもなくベクトルでもないテンソル量となります。これを有効質量テンソルと呼んでいます。


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