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原子核の位置での電子の存在確率密度

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  • 質問者：caesium55
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

原子核の位置での電子の存在確率密度って波動関数Ψ(r,θ,φ)を二乗してr=0を代入したときと、動径分布関数D(r)にr=0を代入したときとで答えが違いますよね。
例えば水素原子1s軌道で
Ψ(r,θ,φ)=1/sqrt(pi)*(1/a)^(3/2)*exp(-r/a)
D(r)=4r^2*(1/a)^3*exp(-2*r/a)
前者で1/(pi*a^3)、後者で0になると思います。この差はなぜ生じるのですか？ちなみにaはボーア半径です。

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「確率 関数」に関するQ&A： 正規分布の確率密度関数

A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： undemande
  • 回答日時：

なにか大変な勘違いをされているようですね。


波動関数式と動径分布関数式は、同じ意味のものを別々の関数で表したのもではありません。全く表している事が違っています。したがって、同じ値になろうが、なかろうが、比べる意味そのものが根本的にありませんよ。

下記サイトをご参照下さい。
http://www.materials.sci.osaka-cu.ac.jp/material …

動径分布関数とは、原子核を中心にして半径r の距離に電子を見出す確率，つまり，今回のような1s軌道では波動関数内にθとφを含んでいないので、半径r の球の表面での「確率密度」であり、この値が最大（極大）になる距離r は，D(r) をr で微分してゼロになる所
dD(r)/dr = ( const ) × r ( 1 - r / a ) exp ( -2r / a ) = 0
より、
r＝ a

つまり、aはボーア半径ですね。つまり、ボーア半径のあたりで，電子の動径分布が最大になりますよ。

式名称に惑わされてはいけません。「何のためにその式が出てきたのか」を考えて下さい。

S = 4πr^2 は球の表面積ですよね。何故それに波動関数の自乗を掛けあわせたものが原子核を中心にして半径r の距離に電子を見出す確率，つまり，半径r の球の表面での確率密度なるのかというと、先ほどの1s軌道の波動関数がは，実際にはθとφを変数として含んでいないからrに対して一様な球状だとしたわけです。

他の電子軌道を考察する場合には、そうはいきませんね。

本当に詳しく知りたいのであれば、以下のサイトをざっと読んでみて下さい。くわしく、丁寧に説明されています。(QMII-8.pdfは無いようです）
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …

http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_ …

頑張ってくださいね。
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No.1

球座標のヤコビアンがかかっているかどうかじゃないですか。


違いは4πr^2でしょ。
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「確率 関数」に関するQ&A： FP3級を独学で

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Q電子の存在確率って

物理は素人なんですが、

電子の存在確率ーというのを読んでいました。
で、グラフがあって、その確率の一番高いところに電子がある可能性が高い、ということですが。
でも裾野がずっと広がっているので、
一言で言うと、こう思ったのですが、
「電子は観測されないときは存在の可能性は宇宙全体に広がっていて、観測されるときには、確率の一番高いところにあらわれる可能性が高い：
と言うふうに解釈するのはおかしいでしょうか？
（イメージでは、宇宙大に広がった電子が、観測の瞬間に点に収束するようなイメージですが・・・）

こう極端に考えたほうが、この概念の特殊性がよく分かるような気がしたのですが。もし合っていれば、ということですが。

自分でもどうかな？、と思うのでお聞きしたいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

素人とおっしゃっていますが、
パーフェクトなご見解です。
お見事！

「確率の一番高いところ‘および、その付近’にあらわれる可能性が高い」
とすれば、さらによいです。

電子だけでなく、他の粒子でも同じです。
たとえば、電子とは違って質量がない光子もそうです。


では！

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Q波長（nm）をエネルギー（ev）に変換する式は？

波長（nm）をエネルギー（ev）に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
　Ｅ = hc/λ[J]
　　 = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら　Ｅ = hc×10^9/eλ　です。
あとは、
　h = 6.626*10^-34[J・s]
　e = 1.602*10^-19[C]
　c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
　E≒1240/λ[eV]
となります。

＞例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
＞合っているのでしょうか？
λに 540[nm] を代入すると
　E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

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Q波動関数の二乗は確率か確率密度か

参考書などに「波動関数の二乗は粒子の存在確率を表す」とよく書いてありますが、波動関数の二乗は確率ではなく確率密度を表すと思うのですが、実際はどっちなのでしょうか？
波動関数の二乗の確率は、｜Φ｜＾２ｄｘだと思います。なぜなら、規格化条件（∫｜Φ｜＾２ｄｘ＝１）は確率を全領域で足し合わせるから１になるのですから、｜Φ｜＾２ｄｘが確率ということになりますよね・・・？
わかる方いたら教えてください（＞＜）

Aベストアンサー

yuclearさんのおっしゃるとおりで、
｜Φ｜＾２ｄｘが確率であり、
｜Φ｜＾２は確率密度です。

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Q水素原子の期待値の計算

水素原子１S軌道に関して運動量pの期待値〈p^2〉を求め、最終的には運動エネルギーの期待値を得たいのですが、

水素原子の１S軌道の波動関数をΨ、その複素共役をΨ*とします。
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)です。aはボーア半径です。
このとき
〈p^2〉＝∫Ψ*p^2Ψdτ
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ* p^2Ψ
ここでp^2=(-(h/2π)^2)d^2/dx^2なので上の式に代入して
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ*(-(h/2π)^2)d^2/dx^2Ψ
さらに
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)であるので(aはボーア半径)、上の式に代入して整理すると
　　　　=(2π)×(2)×(1/π) ・(1/a^3)・(-(h/2π)^2)∫r^2・exp(‐2r/a)・(d^2/dx^2)dr
xの2階微分の処理方法を含め、ここからどのように計算したらよいか分からずにいます。
最終的には水素原子１S軌道に関しての運動エネルギーの期待値を得たいのです。
しかもポテンシャルエネルギーの期待値との関係から〈K〉＝-(1/2) 〈U〉= e＾2/(8πεa)になるはずなのですが真空の誘電率εや電荷eが出てくる気配もなく困っています。
どうかご教示いただけないでしょうか。
そもそも計算方法が間違っているのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

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〈p^2〉＝∫Ψ*p^2Ψdτ
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Aベストアンサー

p^2 = (-(h/2π)^2) d^2/dx^2 となるのは、一次元のときです。水素原子のように三次元のときには

　p^2 = (-(h/2π)^2) (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)

になります。これを極座標で表すと

　p^2 = (-(h/2π)^2) ((1/r^2)∂/∂r(r^2∂/∂r) + (1/(r^2sinθ))∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + (1/(rsinθ)^2)∂^2/∂φ^2)

のようにかなり複雑な形になりますけど、水素原子の1s軌道の波動関数Ψがθとφに依存しない（∂Ψ/∂θ＝∂Ψ/∂φ＝0）ので、p^2をΨに作用させると

　p^2 Ψ = (-(h/2π)^2) ((2/r)∂Ψ/∂r + (∂^2Ψ/∂r^2))
　
のような簡単な形になります。

　∂(exp(-r/a))/∂r = -exp(-r/a)/a
　∂^2(exp(-r/a))/∂r^2 = exp(-r/a)/a^2

ですので

　Ψ* p^2 Ψ = 1/(πa^3) (-(h/2π)^2) exp(-2r/a) (-2/(ra)+1/a^2)

となって運動エネルギーの期待値〈K〉は

〈K〉= ∫∫∫dφdθdr{r^2 sinθ Ψ* p^2 Ψ/2m}
　　　= 4π∫dr{r^2 Ψ* p^2 Ψ/2m}
　　　= 4π/(πa^3) (-(h/2π)^2/2m)∫{exp(-2r/a)(-2r/a+(2r/a)^2/4)}dr
　　　= 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) ∫{exp(-t)(-t+t^2/4)}dt
　　　= 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) (-1+1/2)
　　　= (h/2π)^2/(2m a^2)

のように計算できます（途中で2r/a=tとおきました）。

真空の誘電率εや電荷eで〈K〉を表すにはボーア半径の定義

　a= 4πε(h/2π)^2/(me^2)

を使います。この式を変形すると

　(h/2π)^2/m = a e^2 /(4πε)

のように書けるので、これを上で求めた〈K〉に代入すると

〈K〉= e^2 /(8πεa)

となります。

式が多いので間違っているところがあるかもしれません。あやしげなところや納得のいかないところがありましたら、お知らせください。

p^2 = (-(h/2π)^2) d^2/dx^2 となるのは、一次元のときです。水素原子のように三次元のときには

　p^2 = (-(h/2π)^2) (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)

になります。これを極座標で表すと

　p^2 = (-(h/2π)^2) ((1/r^2)∂/∂r(r^2∂/∂r) + (1/(r^2sinθ))∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + (1/(rsinθ)^2)∂^2/∂φ^2)

のようにかなり複雑な形になりますけど、水素原子の1s軌道の波動関数Ψがθとφに依存しない（∂Ψ/∂θ＝∂Ψ/∂φ＝0）ので、p^2をΨに作用させると

　p^2 Ψ = (-(h/2π)^2) ((2/r)∂Ψ/∂r + (∂^2Ψ/∂r^2))
　
のよ...続きを読む

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Q結合性軌道と反結合性軌道とは？

結合性軌道と反結合性軌道とはどういうものなのでしょうか？
調べてみたのですが少し専門的で理解できませんでした。
初心者にも分かる程度にご教授お願いいたします。

また、「水素の分子軌道において、基底状態では反結合性軌道に電子が含まれない」ということも合わせて教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相（波動関数の符号）を合わせて重なります。
すると重なった部分（2つの原子間）の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2つの原子核を引き寄せ結合を生成しますから、「結合性軌道」と呼ばれます。
しかしエネルギーの高い方の軌道では、2つの軌道の電子波は位相を逆向きにして重なるのです。
すると、重なった部分の電子密度は低くなり、2つの原子間とは反対方向の電子密度が高くなります。
結果、この軌道はそれぞれの原子を結合とは逆向きに引き離し、結合を破壊する性質を持つので「反結合性軌道」と呼ばれます。

水素分子H2では、このように2つの1s軌道から結合性軌道・反結合性軌道ができます。
電子は合わせて2つです。パウリの原理に従い、エネルギーの低い軌道から電子を詰めていくと、2つの原子はどちらも結合性軌道に位置します。
反結合性軌道には電子は入っていません。

結合次数は (結合性軌道中の電子 + 反結合性軌道中の電子)/2 で求められます。水素分子の結合次数は1となります。
水素分子の結合は単結合である、ということに一致していますね。

分子軌道法はこのように考えます。

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相（波動関数の符号）を合わせて重なります。
すると重なった部分（2つの原子間）の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2...続きを読む

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Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T　(積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q：熱　w：仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU＋pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV＋Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi～pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、＝になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T＋nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃：(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU＋pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV＋Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

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Q標準自由エネルギー変化について教えてください。

お願いします。
基礎中の基礎です。しかし混乱してます
標準自由エネルギー変化ΔG゜と自由エネルギー変化ΔGの違いが分かりません。

まず標準自由エネルギー変化ですが
aA+bB⇔cC+dDと言う反応があると
ΔG゜＝各物質の生成ΔGfの合計＝[c×ΔGfC]＋[d×ΔGfD]－[a×ΔGfA]－[b×ΔGfB]だと思うのですが・・・
質問１：ΔG゜＜０ですと反応は右に進まないはず。でもなぜ？
質問２：ΔG゜とはそもそも何を表しているのですか？（僕自身の薄学では生成側にそれだけエネルギーが偏っている？）
質問３：ΔG゜＝－AとするとAが大きいほど反応は進みやすのでしょうか？（これ本当に分かりません・・）

自由エネルギー変化ΔGについてです
ΔG＝ΔG゜＋RTlnK
aA+bB⇔cC+dDと言う反応ではモル分圧平衡定数とするとK＝([P_C]^c・[P_D])^d÷([P_A]^a・[P_B]^b)
です。
質問４：そもそもΔGとは何を表現しているのですか？平衡だとΔG=0となる。これはどういうこと？
質問５：ΔG゜＝－RTlnKですが、通常ΔGというとみんなこの方法で算出してしまいます。ここで標準自由エネルギー変化ΔG゜と自由エネルギー変化ΔGをごっちゃにするとエライ事になりそうですが・・・
質問６：ΔG＝ΔG゜＋RTln([P_C]^c・[P_D])^d÷([P_A]^a・[P_B]^b)でよく25℃、1atmの濃度や分圧を入れてΔGを出してますが、これはどう解釈したらよいのでしょうか？その濃度や分圧のときの自由エネルギーということ？でもそれなら25℃、1atmの生成ΔGfから算出したΔG゜とΔGが同じにならないとおかしくありませんか？
質問：そもそも上記の考え方にどこかおかしいから悩んでいるので、指摘していただけたら幸いです。

お願いします。
基礎中の基礎です。しかし混乱してます
標準自由エネルギー変化ΔG゜と自由エネルギー変化ΔGの違いが分かりません。

まず標準自由エネルギー変化ですが
aA+bB⇔cC+dDと言う反応があると
ΔG゜＝各物質の生成ΔGfの合計＝[c×ΔGfC]＋[d×ΔGfD]－[a×ΔGfA]－[b×ΔGfB]だと思うのですが・・・
質問１：ΔG゜＜０ですと反応は右に進まないはず。でもなぜ？
質問２：ΔG゜とはそもそも何を表しているのですか？（僕自身の薄学では生成側にそれだけエネルギーが偏っている？）
質問３：ΔG゜＝－Aとすると...続きを読む

Aベストアンサー

＞平衡になったときのモル分率やモル濃度を入れると、当然RTlnKは
＞-ΔG゜と同じになるはずですよね？

ΔG＝ΔG゜＋RTlnKですよね。平衡状態ではΔＧ＝0なので、
RTlnK＝－ΔG゜　または　-RTlnK＝ΔG゜で間違いないと思います。

＞一般的にΔG゜って各物質の生成ΔGfの合計から算出するじゃないですか？

違うと思います。
ΔG゜=ΣΔGf゜（生成物）- ΣΔGf゜（反応物）　だと思います。

標準生成自由エネルギーと自由エネルギー変化を混同しては行けません。
自由エネルギーやエンタルピーの絶対値を調べるのは大変なので
変化量を指標に用いていることは同じですが、標準生成自由エネルギーは、すべての元素が標準状態にあるとき自由エネルギーを0として、それらの単体から生成される化合物を上記の式を使って計算した物です。

反応が自発的に進むためにはΔＧがマイナスでなければなりません。
ΔＧは自由エネルギー変化です。
標準生成自由エネルギーΔG゜とは違います。
-RTlnK＝ΔG゜　という関係から　ΔG゜が負の時はＫが１よりも大きい事を意味し、正の時には、その反応が進まないということではなくＫが１よりも小さいことだけを意味します。
ΔG゜が大きな正の値をとるとＫは著しく小さくなり、平衡点は原系の方に極端に片寄ることを意味しています。
ΔG゜=0ならばＫ=1ということです。

＞平衡になったときのモル分率やモル濃度を入れると、当然RTlnKは
＞-ΔG゜と同じになるはずですよね？

ΔG＝ΔG゜＋RTlnKですよね。平衡状態ではΔＧ＝0なので、
RTlnK＝－ΔG゜　または　-RTlnK＝ΔG゜で間違いないと思います。

＞一般的にΔG゜って各物質の生成ΔGfの合計から算出するじゃないですか？

違うと思います。
ΔG゜=ΣΔGf゜（生成物）- ΣΔGf゜（反応物）　だと思います。

標準生成自由エネルギーと自由エネルギー変化を混同しては行けません。
自由エネルギーやエンタルピーの絶対値を調べる...続きを読む

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Q吸光度の単位

吸光度の単位は何でしょうか!?
一般的には単位はつけていないように思われるのですが。。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

物理的には、No.1さんも書かれているように吸光度も透過度も基本的に同じ単位系の物理量どうしの「比」なので「無単位」です。しかし、無名数では他の物理量、特に透過度と区別が付かないので、透過度は"透過率"として「％」を付けて表し、"吸光度"は「Abs（アブス）」を付けて呼ぶのが業界（分析機器工業会？）のならわしです。

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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか？
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか？

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン（自由電子が引っこ抜かれた残りの原子）の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます（進路を乱されます）。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

＞＞＞半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この２つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」（運ぶ人）と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、Ｈ+ と ＯＨ- の濃度の積が一定（１０^(-14)mol^2/L^2）であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、Ｈ2Ｏ が Ｈ+ と ＯＨ- とに解離しやすくなり、Ｈ2Ｏ　に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

＞＞＞金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか？

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン（自由電子が引っこ抜かれた残りの原子）の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます（進路を乱されます）。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

＞＞＞半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

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Q波動関数の動径関数について

現在、分子軌道法について勉強しているのですが、波動関数の動径波動関数について調べても理解できない点があったので、どなたかご存知でしたら、ご教授頂ければと思います。

質問1)
　動径関数は、クーロン場に由来する関数であるため、原子核からの距離ｒの関数として表されますが、なぜ1ｓは動径関数の値は正のみをとり、2ｓからは負の値も取り得ることが可能なのでしょうか？
　動径関数は、空間的な電子の広がりを支配しているため、負の値の意味がよくわかりません。
　よろしくお願いします。

質問2)
　波動関数は動径関数と球面調和関数の積で表されますが、球面調和関数の位相因子はどのような意味をもつのでしょうか？
　動径波動関数で、空間的な電子の広がりを表現するために、正負の値を取り得るのなら、なぜ球面調和関数が必要なのでしょうか？
　よろしくお願いします。

以上ですが、自分の勉強不足という点もあり、なかなか理解できず、困惑しております。ご教授よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

■動径波動関数が負の値を取り得る理由
ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は、波動関数 Ψ(r,θ,φ) に比例するのではなく、波動関数の絶対値の二乗 |Ψ(r,θ,φ)|^2 に比例します。水素原子では、動径波動関数を R(r), 球面調和関数を Y(θ,φ) とすれば Ψ(r,θ,φ)＝R(r)Y(θ,φ)と表されますから、ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は

　|Ψ(r,θ,φ)|^2＝|R(r)|^2×|Y(θ,φ)|^2

となって、動径波動関数の絶対値の二乗 |R(r)|^2 に比例します。動径波動関数がある位置で負の値を取っても、その位置で電子を見出す確率は正の値になるので、動径波動関数が正負の値を取っても問題ないです。

■なぜ球面調和関数が必要なのか？
動径波動関数 R は r だけの関数です。もし波動関数 Ψ が、θとφに依らないのだったら、球面調和関数はいらないです。しかし、ｓ軌道以外の波動関数はθとφに依存するので、球面調和関数が必要になります。
　例えば2ｐz軌道（または2ｐ0軌道）は、θ＝π/2　となる位置、つまりxy平面上では値がゼロになります。また原子核を中心とする球面上の点を考えると、θ＝0とθ＝πの位置で波動関数の絶対値が最大になります。
　「動径関数が空間的な電子の広がりを支配している」というような説明は、私もみたことがありますけど、「動径波動関数だけでなく球面調和関数もまた空間的な電子の広がりを表現している」と考えたほうがいいと私は思います。
　
　原子軌道の大きさ：どのくらい広がっているのかを動径波動関数が表現している。
　原子軌道のかたち：どのように広がっているのかを球面調和関数が表現している。

■原子軌道の位相と節面
「球面調和関数の位相因子」というのが何を指しているのかよく分からないのですけど、教科書の原子軌道の節面に関する説明をよく読めば、おそらく疑問が解けるのではないかと思います。原子軌道の節面とは、Ψ(r,θ,φ)＝０を満たす平面、球面、円錐面です。Ψ(r,θ,φ)＝R(r)Y(θ,φ)ですから、節面には、R(r)＝０を満たす球面と、Y(θ,φ)＝０を満たす平面または円錐面があります。波動関数が正の値をとる空間領域と負の値をとる空間領域は、節面によって分けられていますから、原子軌道の位相は、節面と深い関係があります。
　分子軌道法で大事なのは、球面調和関数に由来する節面の方です。動径波動関数に由来する球形の節面は、原子間の化学結合の形成には、あまり関係しません。軌道の一番外側の位相だけが大事だからです。例えば2ｓ軌道では、原子核に十分近い領域は十分離れた領域の逆位相になりますけど、ふつう2ｓ軌道を図で表すときには、外側の位相だけを書きます。このことは、球面調和関数に由来する節面を持つ2ｐ軌道を図で表すときに、正と負の両方の位相を必ず書くのとは対照的です。

■動径波動関数が負の値を取り得る理由
ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は、波動関数 Ψ(r,θ,φ) に比例するのではなく、波動関数の絶対値の二乗 |Ψ(r,θ,φ)|^2 に比例します。水素原子では、動径波動関数を R(r), 球面調和関数を Y(θ,φ) とすれば Ψ(r,θ,φ)＝R(r)Y(θ,φ)と表されますから、ある位置(r,θ,φ)で電子を見出す確率は

　|Ψ(r,θ,φ)|^2＝|R(r)|^2×|Y(θ,φ)|^2

となって、動径波動関数の絶対値の二乗 |R(r)|^2 に比例します。動径波動関数がある位置で負の値を取っても、その位置で電子を見出す確率は...続きを読む

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