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3x-7y=1を満たす自然数の組(x,y)のうちxの値が10番目に小さいものを求める問題で
3x-7y=1 …(1)
特殊解を1つ適当に決めて
(x,y)=(-2,-1)とすると
3*(-2)-7*(-1)=1 …(2)
(1)-(2)より3(x+2)-7(y+1)=0
までは考えたのですが
x+2=7k
y+1=3k
になるのが分かりません

A 回答 (6件)

>y+1=3kの導き方が分かりません。


(1)の左辺で、3は整数、xは自然数ですね。

3(x+2)は「3(整数)」かける(「自然数」+「2(整数)」)だから
整数になります。しかも3がかけられてるから3の倍数です。

ここまではいいですか?

そこで便宜的に(1)の右辺を3の倍数であることを表すために

7(y+1)は、3かける「ある整数」となります。

7(y+1)=3×「ある整数」
両辺7で割る
y+1=3/7×「ある整数」

ここで「ある整数」=7kとすると

y+1=3/7×7k
よって
y+1=3k

です。


要するにkは整数を表しているだけですから。


補足欄の
・・・・・・・・・・・・・・
(1)より
3k=7(y+1)・・・・・・・・・・・・・・(A)
y+1=3k/7
になってしまいます。
・・・・・・・・・・・・・・・

(A)の考えが間違いです。
(1)からは(A)と考えずに

3K=7(y+1)・・・・・Kは大文字ですよ
両辺逆にして
7(y+1)=3K
y+1=3K/7

ここでK=7kと置き換えると
y+1=3*7k/7
よって
y+1=3k
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
やっと分かりました

お礼日時:2006/12/10 11:33

3(x+2)-7(y+1)=0において、x+2=A、y+1=Bとすると、3A=7Bになります。

但し、AとBは共に整数。
ところが、3と7の間には1以外に約数がありません(=互いに素である、と言います)。
従って、3A=7Bが成立するためには、A=7k (kは整数)と置くと、B=3kになります。
後は、xとyを戻すだけです。

特別解の求め方は、ユークリッドの互除法というのがあって、7=3*2+1より特別解を求められます。
つまり、7-1=3*2ですから、3*(-2)-7*(-1)=1 …(2)に成るわけです。

追記。
xとyの特別解は、(x、y)=(12、5)もそのひとつですから、x=7k+12、y=3k+5 (kは整数) とあらわせます。
この場合は、x≧1、y≧1より k≧-1とすれば良いです。

この回答への補足

解説ありがとうございます。
(2)の求めかたを教えてください
7-1=3*2から、3*(-2)-7*(-1)=になるがわ分かりません。

他に、(x、y)=(12、5)がどうやって現れたのか分かりません。
どうしてk≧-1とすれば良いのでしょうか?

補足日時:2006/12/10 11:41
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xとyの特別解のひとつを(x,y)=(-2,-1)として、x=7k-2、y=3k-1(kは整数)として一般解を求める。


但し、x≧1、y≧1より k≧1とすれば良いですよ。

勿論、(x,y)=(5,2)として、x=7k+5、y=3k+2(kは整数)として一般解を求める。
但し、この場合は、x≧1、y≧1より k≧0とするだけです。


一般解のあらわし方は、条件さえ付ければ、一通りではないです。
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それからx、yは自然数ですから


>特殊解を1つ適当に決めて
>(x,y)=(-2,-1)とすると

これも駄目ですよ。

自然数にマイナスは駄目だよ。
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3x-7y=1


3x=7y+1
3x=7(y+1)-6
3x+6=7(y+1)
3(x+2)=7(y+1)・・・・・・・(1)

ここで(1)の右辺が整数で7の倍数であることが解ります。
つまり、Nを整数とすると
3(x+2)=7N・・・・・・・・・(2)
x+2=7N/3・・・・・・・・(3)

(1)、(2)の左辺より
7(y+1)=7N
y+1=N・・・・・・・・・(4)

また(1)の左辺は整数で3の倍数ということも解ります。
そこで,kを整数とすると
y+1=3k・・・・・・・・・(5)
(4)、(5)の左辺より
N=3k
Nを(3)の式に代入して
x+2=7*3k/3
x+2=7k・・・・・・・・・(6)

(5)、(6)で
x+2=7k
y+1=3k

となる。

回りくどいですが本当はこんな感じで証明していくのですがね。
自明な事ほど説明、証明するのは大変です。

この回答への補足

y+1=3kの導き方が分かりません。
(1)より
2k=7(y+1)
y+1=3k/7
になってしまいます。

補足日時:2006/12/09 12:41
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3(x+2)-7(y+1)=0 より


3(x+2)=7(y+1)  
この式をよく見ると yは 自然数なので右辺は 7×(自然数)です。
 よって x+2 は 7の倍数でないといけません。
 だから x+2=7k (k:整数) と書けます。
同じ理由で y+1=3k です。
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