論理式 条件法 裏

Ｐ→Ｑの条件法は、Ｐが偽ならば、Ｑの真偽を問わず、真になるそうです。
　そこで、たとえば、「Ｘ＝２ならばＸの２乗＝４」という命題を考えると、「Ｘ＝２でないならば、Ｘの２乗＝４」は真になってしまいます。
Ｘ＝２でないならば、Ｘの２乗＝４はあきらかに偽。

どこがおかしいのでしょう。例がおかしいのでしょうか。

基礎的な質問なのでしょうが、よろしくお願いします。数学的な説明はできるだけ避けて説明お願いできないでしょうか。

No.1 回答者： redasurc 回答日時： 2007/01/25 12:20

「x=2ならばxの2乗=4」という命題を考えた場合、Pは「x=2」、Qは「Xの2乗=4」にあたります。

質問されている内容は、Pが偽となる場合、例えばx=1だった場合にQの真偽を問わず（この場合はQは偽）この命題は真になる、ということを表しています。
命題自体を書き換えて考えてしまったので、おかしくなったんですね。

[おまけ]
x=2の場合、P、Q共に真となり、この命題は真です。
x=2でない場合、Pは偽となり、（Qの真偽に関わらず）この命題は真です。
すべてのxについてこの命題は真となるので、この命題はトートロジーですね。

この回答へのお礼

早速のご回答有難うございました。

条件法の真理表はご存知の通り

ＰＱ　　Ｐ → Ｑ
１１　　　１
１０　　　０
０１　　　１
００　　　１
この三番目にあてはめると「Ｘ≠2→Ｘ2乗」で変と思ったのですが、「Ｐ → Ｑ」＝「Ｘ＝2→Ｘ2乗」の真理は揺るがないと考えればよかったのですね。「わかつた」（と思います）！
　追伸　条件法はトートロジーではないと思いますが？
　とり急ぎお礼を致します。

お礼日時：2007/01/25 21:12

No.2 回答者： koko_u 回答日時： 2007/01/25 12:20

P, Q 個別の真偽と 「P -> Q」の真偽を混同しています。

命題 X : 「 X = 2 -> X^2 = 4」という単一の命題は X が実際に 9 であった場合にも論理の導き方としては「真」です。

例えば、9 = 2 は一見あり得ないように思われるかもしれませんが、Z/7Z (整数の 7 を法とした剰余類)では正しく、
その場合命題 X が真であるため Z/7Z の世界では 9^2 = 4 (確かに 81 を 7 で割ると 4)となります。

この回答へのお礼

早速のご解答有難うございました。
Ｘ＝2の変わりに何をもってきても、Ｘ＝2のときのＸ2乗＝4はいつでも真だよという理解でよろしいのでしょうか？
　もう少し、私も考えてみます。とり急ぎお礼いたします。

お礼日時：2007/01/25 20:58

No.3 回答者： proto 回答日時： 2007/01/25 12:50

＞Ｐ→Ｑの条件法は、Ｐが偽ならば、Ｑの真偽を問わず、真になるそうです。

これは
　　Pが偽、ならば (Qの真偽を問わず) 『P→Q』は真
という意味ですよね。
なので
「x=2ならばx^2=4」に当てはめると
　　「x=2でない」ならば (x^2=4かどうかに関わらず) 「x=2ならばx^2=4」は真
になります。

x≠2ならばx^2=4とは限りませんが、あくまで「x=2ならばx^2=4」はx=2の場合だけを言っているのだから、x≠2のときは「x=2ならばx^2=4」は真と考えましょう。
といった感じでしょうか。


ちなみに
「Ｘ＝２でないならば、Ｘの２乗＝４」
は
「x≠2ならばx^2=4」
で
「x=2ならばx^2=4」
とは明らかに別の命題になってしまっています。

もうひとつ、ちなみに
　　「P→Q」 = 「￢P∨Q」
です。
こちらで考えてみればすっきりするかも。

この回答へのお礼

早速のご解答有難うございました。
「「x=2でない」ならば (x^2=4かどうかに関わらず) 「x=2ならばx^2=4」は真になります」で、よくわかりました。
　私としては、「雨が降る→傘をさす」を「晴れる→傘をさす」の例で当てはめて、考えていたのでわからなくなりました。すると、よくある説明のように、「雨が降ろうが晴れようが、傘をさしても良い」という説明よりも、「晴れても、（雨がふったら）、傘をさす」と理解するということ…
…ん、なんか変なような…また考えます。どうも有難うございました。助かりました。

お礼日時：2007/01/25 20:51

No.4 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/01/25 23:57

>Ｘ＝２でないならば、Ｘの２乗＝４はあきらかに偽。

そうでしょうか？ここで、反例を申し上げさせて頂くと、
X=-2の場合もX^2=4になりますので、完全に偽にはならないでしょう。

気に障ったら申し訳ないのですが、この点に関しては別に批評している
わけではなく、後に、この反例を使って説明していきたいと思います
ので、あえてここで、この点に関してご指摘をさせて頂きました。

さっそく、本題に入りますが、真理値表の値の組み合わせは、
P,Qは命題自体の真偽について表しているわけではないと思います。
これは、ある事柄に対して、P,Qの命題に記載された条件を満たす場合
のP->Qにおける命題の成立可否について表しているのではないでしょ
うか。

例えば、

あなたが何らかの事柄に対し、「ＸならばＹ」という命題の仮説を立てた
とします。そこで、あなたは命題の真偽について検証するために、
色んなケースについて見ていく事になると思います。
そこで、検証中に、「Ｘでない、Ｙである」と判定されたものが存在
したとします。がしかし、この場合は、貴方が唱えた仮説には何ら
支障がないはずなので、とりあえずは良しとするでしょう。
つまり、貴方の立てた仮説を覆しているわけではないので
仮説そのものに対して偽と判定する必要はないでしょう。
しかし、「Ｘである、Ｙでない」と判定されたものが存在した場合は
どうでしょう？　今度は、この場合には、貴方が唱えた仮説そのものが
覆されるほどの致命傷となりうるケースです。このような場合は
命題そのものが偽となってしまうので、あなたはかなり焦って、
その事柄に対して「Ｘである、Ｙでない」という判定の仕方に誤りが
あったのか、自分が唱えた仮説そのものに誤りがあるのかといった
エラーの原因分析に入るわけですよね？

これらの事を踏まえ、質問内容について見てみると、質問者様は
否定命題である￢P->Qが成立しないと言っているだけに過ぎない
と思います。この場合は、真理値表のP=0,Q=1の時、P->Q=1になる
という事柄とは全く無関係な話になるでしょう。

先ほども述べましたように、X=-2,X^2=4の場合においては、P=0,Q=1
と判定されるものの、このケースが生じたからといって、決してP->Q
の命題そのものには何ら支障がないので問題にはなりません。

また、X=-3,X^2=9の場合においても、P=0,Q=0と判定されますが、
これもまた、P->Qの命題には何ら無関係で何の支障もないので、
P->Qは1と判定されるのは当然の事だと思います。

しかし、あり得ないケースで、P=0,Q=1、すなわち、X=2,X^2≠4が
のケースが出現した場合は、P->Qという命題自体は完全に否定されて
しまいますので、この場合は偽になるわけですね…。

No.5 回答者： redasurc 回答日時： 2007/01/26 10:20

No1の追伸についての回答です。

条件法がトートロジーということではなく、命題「x=2ならばxの2乗=4」がトートロジーということですね。