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P→Qの条件法は、Pが偽ならば、Qの真偽を問わず、真になるそうです。
 そこで、たとえば、「X=2ならばXの2乗=4」という命題を考えると、「X=2でないならば、Xの2乗=4」は真になってしまいます。
X=2でないならば、Xの2乗=4はあきらかに偽。

どこがおかしいのでしょう。例がおかしいのでしょうか。

基礎的な質問なのでしょうが、よろしくお願いします。数学的な説明はできるだけ避けて説明お願いできないでしょうか。

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A 回答 (5件)

No1の追伸についての回答です。



条件法がトートロジーということではなく、命題「x=2ならばxの2乗=4」がトートロジーということですね。
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>X=2でないならば、Xの2乗=4はあきらかに偽。



そうでしょうか?ここで、反例を申し上げさせて頂くと、
X=-2の場合もX^2=4になりますので、完全に偽にはならないでしょう。

気に障ったら申し訳ないのですが、この点に関しては別に批評している
わけではなく、後に、この反例を使って説明していきたいと思います
ので、あえてここで、この点に関してご指摘をさせて頂きました。

さっそく、本題に入りますが、真理値表の値の組み合わせは、
P,Qは命題自体の真偽について表しているわけではないと思います。
これは、ある事柄に対して、P,Qの命題に記載された条件を満たす場合
のP->Qにおける命題の成立可否について表しているのではないでしょ
うか。

例えば、

あなたが何らかの事柄に対し、「XならばY」という命題の仮説を立てた
とします。そこで、あなたは命題の真偽について検証するために、
色んなケースについて見ていく事になると思います。
そこで、検証中に、「Xでない、Yである」と判定されたものが存在
したとします。がしかし、この場合は、貴方が唱えた仮説には何ら
支障がないはずなので、とりあえずは良しとするでしょう。
つまり、貴方の立てた仮説を覆しているわけではないので
仮説そのものに対して偽と判定する必要はないでしょう。
しかし、「Xである、Yでない」と判定されたものが存在した場合は
どうでしょう? 今度は、この場合には、貴方が唱えた仮説そのものが
覆されるほどの致命傷となりうるケースです。このような場合は
命題そのものが偽となってしまうので、あなたはかなり焦って、
その事柄に対して「Xである、Yでない」という判定の仕方に誤りが
あったのか、自分が唱えた仮説そのものに誤りがあるのかといった
エラーの原因分析に入るわけですよね?

これらの事を踏まえ、質問内容について見てみると、質問者様は
否定命題である¬P->Qが成立しないと言っているだけに過ぎない
と思います。この場合は、真理値表のP=0,Q=1の時、P->Q=1になる
という事柄とは全く無関係な話になるでしょう。

先ほども述べましたように、X=-2,X^2=4の場合においては、P=0,Q=1
と判定されるものの、このケースが生じたからといって、決してP->Q
の命題そのものには何ら支障がないので問題にはなりません。

また、X=-3,X^2=9の場合においても、P=0,Q=0と判定されますが、
これもまた、P->Qの命題には何ら無関係で何の支障もないので、
P->Qは1と判定されるのは当然の事だと思います。

しかし、あり得ないケースで、P=0,Q=1、すなわち、X=2,X^2≠4が
のケースが出現した場合は、P->Qという命題自体は完全に否定されて
しまいますので、この場合は偽になるわけですね…。
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>P→Qの条件法は、Pが偽ならば、Qの真偽を問わず、真になるそうです。



これは
  Pが偽、ならば (Qの真偽を問わず) 『P→Q』は真
という意味ですよね。
なので
「x=2ならばx^2=4」に当てはめると
  「x=2でない」ならば (x^2=4かどうかに関わらず) 「x=2ならばx^2=4」は真
になります。

x≠2ならばx^2=4とは限りませんが、あくまで「x=2ならばx^2=4」はx=2の場合だけを言っているのだから、x≠2のときは「x=2ならばx^2=4」は真と考えましょう。
といった感じでしょうか。


ちなみに
「X=2でないならば、Xの2乗=4」

「x≠2ならばx^2=4」

「x=2ならばx^2=4」
とは明らかに別の命題になってしまっています。

もうひとつ、ちなみに
  「P→Q」 = 「¬P∨Q」
です。
こちらで考えてみればすっきりするかも。
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この回答へのお礼

早速のご解答有難うございました。
「「x=2でない」ならば (x^2=4かどうかに関わらず) 「x=2ならばx^2=4」は真になります」で、よくわかりました。
 私としては、「雨が降る→傘をさす」を「晴れる→傘をさす」の例で当てはめて、考えていたのでわからなくなりました。すると、よくある説明のように、「雨が降ろうが晴れようが、傘をさしても良い」という説明よりも、「晴れても、(雨がふったら)、傘をさす」と理解するということ…
…ん、なんか変なような…また考えます。どうも有難うございました。助かりました。

お礼日時:2007/01/25 20:51

P, Q 個別の真偽と 「P -> Q」の真偽を混同しています。


命題 X : 「 X = 2 -> X^2 = 4」という単一の命題は X が実際に 9 であった場合にも論理の導き方としては「真」です。

例えば、9 = 2 は一見あり得ないように思われるかもしれませんが、Z/7Z (整数の 7 を法とした剰余類)では正しく、
その場合命題 X が真であるため Z/7Z の世界では 9^2 = 4 (確かに 81 を 7 で割ると 4)となります。
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この回答へのお礼

早速のご解答有難うございました。
X=2の変わりに何をもってきても、X=2のときのX2乗=4はいつでも真だよという理解でよろしいのでしょうか?
 もう少し、私も考えてみます。とり急ぎお礼いたします。

お礼日時:2007/01/25 20:58

「x=2ならばxの2乗=4」という命題を考えた場合、Pは「x=2」、Qは「Xの2乗=4」にあたります。


質問されている内容は、Pが偽となる場合、例えばx=1だった場合にQの真偽を問わず(この場合はQは偽)この命題は真になる、ということを表しています。
命題自体を書き換えて考えてしまったので、おかしくなったんですね。

[おまけ]
x=2の場合、P、Q共に真となり、この命題は真です。
x=2でない場合、Pは偽となり、(Qの真偽に関わらず)この命題は真です。
すべてのxについてこの命題は真となるので、この命題はトートロジーですね。
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この回答へのお礼

早速のご回答有難うございました。

条件法の真理表はご存知の通り

PQ  P → Q
11   1
10   0
01   1
00   1
この三番目にあてはめると「X≠2→X2乗」で変と思ったのですが、「P → Q」=「X=2→X2乗」の真理は揺るがないと考えればよかったのですね。「わかつた」(と思います)!
 追伸 条件法はトートロジーではないと思いますが?
 とり急ぎお礼を致します。

お礼日時:2007/01/25 21:12

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