No.3ベストアンサー
- 回答日時:
極限関数はf(x)=1/2
|fn(x)-f(x)|=x/2(2n+x)
これをg(x)=x/2(2n+x)とすると、g'(x)=n/(2n+x)^2>0
なので、g(x)は増加関数で、|fn(x)-f(x)|は[0,1]では
x=1で最大値をとる。
|fn(x)-f(x)|≦1/2(2n+1)
となって、[0,1]全体でxに無関係な式で押さえられ、
1/2(2n+1)→0なので、fn→fは[0,1]で一様収束である。
ε-N論法によるには、1/2(2n+1)<εより、
n>1/4ε-1/2なので、任意のε>0に対して、N=[1/4ε-1/2]+1
にとれば、n≧Nのとき、|fn(x)-f(x)|<ε
Nとして、xに無関係なものが取れているので、一様収束
であることがわかる。
ε-N論法は面倒なので、sup(x∈I)|fn(x)-f(x)|→0(n→∞)
を考えた方が良くない?
No.2
- 回答日時:
不等式で少し変な箇所がありますが、ほぼ、その証明でよいと思います。
ただ、Nはどのようにとりましたか?アルキメデスの公理よりε>1/Nとなる自然数Nが存在しますよね。このことさえ書いてあれば、質問者さんの証明によって、一様収束であることが示せたことになるのです。もっと、自信を持って頑張って下さいね。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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