数学IIIのはさみうちの原理について質問があります。

Question

高校数学IIIの参考書（ニューアクション・東京出版）において、以下のような問題が出ていました。　lim(n→∞)n/2^nを求めよ。　この問題の解答が「n≧5のとき2^n>n^2が成り立つことを示す」となっていて以下数学的帰納法でこれを証明して、最後にはさみうちの原理を用いています。　またこの類題でlim(n→∞)n^2/2^nを求めよ。　の解答は「n≧3のとき2^n>n^3/6が成り立つことを示す」となっていて以下二項定理を使用しているのですが、解答（上記の「」内です。）で、なぜこのようにnの数値の範囲とnについての不等式が決定されるのかが分かりません。いったいどこからこのようなnの範囲と不等式が出てくるのでしょうか？他の参考書にも理由は掲載されていませんでした。　どなたか理由を教えて下さい。よろしくお願いいたします。

noname#101087 · Accepted Answer

>.... lim(n→∞)n/2^nを求めよ。　この問題の解答が「n≧5のとき2^n>n^2が成り立つことを示す」となっていて以下数学的帰納法で
>これを証明して、最後にはさみうちの原理を用いています。.....

　(1) n/2^n よりも値が大きくて(2^n>n^2)
　(2) 収束値をもつ(n/n~2=1/n はゼロに収束)
ような数列として、1/n に着目したのでしょうね。(ゼロに収束する数列よりも小さい非負数列、ということ)
残念なことに、nが4以下だと(1) が成り立つとは限りません。(確かめてください)
そこで「n≧5のとき2^n>n^2が成り立つことを示す」などと、但し書きを添えることになったのです。
どっち道 nをでかくして行くのですから論理的な不都合じゃないのですが、初めて見る人は唐突な違和感を受けるのでしょう。

chie65536 · Answer

「極限を求める」と言うのが「ｎの範囲と、ｎについての不等式が成り立つ事を示す事」だからです。

言い替えれば「極限を求める」とは「範囲を求める」と言う事です。

極限式をグラフにすると、グラフの線は「ある決まった範囲」に描かれます。グラフ上の「ある決まった範囲」を示すには「不等式」を使います。例えば「ｎが３未満の範囲」を示すには「ｎ＜３」と書きます。

「極限を求めるとは、不等式を導き出し、その不等式が成り立つのを示す事」なのですよ。

質問者さんの疑問は「『0.5を分数で表せ』って問題があるんだけど、なんで解答を『２ぶんの１』って分数にしなければいけないの？『２ぶんの１』ってどっから出て来たの？分母って何？分子って何？」と言う疑問と同じです。

velvet-rope · Answer

n→∞での極限について考察するには、nがある程度大きな値を超えた時の議論をすればいいからです。
n≧3やn≧5に現れる3や5の数字に本質的な意味はありません。

数学IIIのはさみうちの原理について質問があります。

>.... lim(n→∞)n/2^nを求めよ。

「極限を求める」と言うのが「ｎの範囲と、ｎについての不等式が成り立つ事を示す事」だからです。

n→∞での極限について考察するには、nがある程度大きな値を超えた時の議論をすればいいからです。

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