円と直線の交点間の距離

円ｘ＾2+ｙ＾2＝10と直線ｙ＝aｘ－5（aー1）について次の各問いに答えよ
（1）これらが２点Ｐ、Ｑで交わるような定数aの値の範囲を求めよ
（2）ＰＱ＝2√5となるようなaの値を求めよ

（1）はなんとか分かりました。円の方程式に直線の方程式を代入して整理したあと判別式Ｄ＞０となるように延々と計算してやっと解けました
（2）なんですがまず交点Ｐ、Ｑの座標を求めようとしても途中で計算が複雑になりすぎて最後まで計算できません。無理やりにでも座標を求めるべきなんでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： mis_take 回答日時： 2007/02/17 13:28

(1)を判別式を使って解くのは大変だったでしょう？

図を描いて考えましょう。
(1),(2)とも円の中心(0,0)から直線までの距離ｄと半径√10とを使って解くと楽です。
ｄ＝|5(a-1)|/√{a^2+1}

No.6 回答者： kumav113 回答日時： 2007/02/17 13:31

#1を読んだあとだったので間違えました。

#5の(2)の回答は無視してください。
ただし、同様にして解けます。

No.5 回答者： kumav113 回答日時： 2007/02/17 13:28

(1)も(2)も点と直線の距離の公式を使えば簡単です。

y=ax+bと(m,n)の距離は
|a*m - n + b|/√(1+a^2)となります。

(1)では、原点からの距離が、
半径以下になるような不等式で解けますし、
(2)は、原点を通る直線ですので、
原点からの距離が0になるようにして求めればよいのです。

No.3 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/02/17 13:25

#1です。

すいません、直径2√5の円ではなく、直径2√10の円でした。
誠に申し訳ありません…。#1の回答は破棄して下さい…。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/02/17 13:23

交点のy座標を求める必要はありません。

x座標だけで十分です。

（１）で求めた２次方程式を解けば、交点座標のx座標が求まりますね。

Ｐ，Ｑのx座標をx1,x2としたとき、
直線の傾きは a ですから、三平方の定理から、
PQの距離 = √( (x2-x1)^2 + a^2*(x2-x1)^2 )
になります。これが 2√5 になるようなaを求めればよいです。

本当は、２次方程式の解と係数の関係を使えば、x座標を求める必要もありません。

No.1 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/02/17 13:20

円ｘ＾2+ｙ＾2＝10は直径2√5の円である事に気付く事がポイントです。

そうすると、直線PQはどうなりますか？