微分方程式の問題(2階)

yy"-(y')^2=y^2logy 解：logy=Ae^(x)+Be^(-x)
が解けなくて困っています。
p=y'として、
d^2y/dx^2=dp/dx=dp/dy・dy/dx=p・dp/dy
問題式に代入して、
yp(dp/dy)-p^2=y^2logy.....(1)
p(dp/dy)-p^2/y=ylogy......(2)1/yを両辺にかける
pとｙについてのベルヌーイ形なので
u=p^2として　du/dy=2p・dp/dy
(2)に代入して、
1/2(du/dy)-u/y=ylogy.....(3)
線形微分方程式になるので、
u=exp^(-∫-2/y){∫exp^(-∫-2/y)・(2ylogy)+C}.....(4)
これを解いていくと、
u=p^2=y^2{(logy)^2+C}.......(5)
p=y√[(logy)^2+C].........(6)
とってしまい、以降が解けません。
（解き方自体が間違っているかもしれません）
どなたか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/23 23:19

f’’(x)=f(x)からexp(x)とexp(-x)が一次独立な解であることは

容易にわかるので、一般解はその線形結合としてAexp(x)+Bexp(-x)。
あるいは、exp(rx)の形の関数から解を探すとして、f’’(x)=f(x)
に代入すると、r^2exp(rx)=exp(rx)より、r^2=1、r=±1

一般的な線形微分方程式の解を探すときは、exp(rx)の形の関数から
解を探し、rに関する代数方程式（特性方程式と呼ばれる）を解いて
rを求める。

この一般的な理論に関しては、成書で勉強された方が良いと思います。
（f’’＝fは最も簡単な形。）

また、
f(x)=logyとおいたので、f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x)から、
logy=Aexp(x)+Bexp(-x)となるのは良いですね？
（yはxの関数なので、logyもxの関数）
あえて直せば、y=exp(Aexp(x)+Bexp(-x))

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
やっとわかることができました。
f"(x)=f(x)を特性方程式と見るのですね。
頭の固い私には目からウロコです。
早速、解き直してみます。
夜遅くにありがとうございました。

お礼日時：2007/02/23 23:39

No.1 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/23 19:25

yy''-(y')^2=y^2logyの両辺をy^2で割ると、

(yy''-(y')^2)/y^2=logy
(y'/y)'=logy
(logy)''=logy
となるので、f(x)=logyと考えれば、
f''(x)=f(x)の形に帰着される。
この一般解は、
f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x)
すなわち、
logy=Aexp(x)+Bexp(-x)
になる。
商の微分法を思いつくかどうかがポイントですか。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
何度も質問申し訳ないのですが、
＞この一般解は、
＞f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x)
で一般解が、f(x)=Aexp(x)+Bexp(-x)と出てくるのがわかりません。
logy=Aexp(x)+Bexp(-x)
これは公式なのでしょうか

お礼日時：2007/02/23 22:23