数学的帰納法の別バージョン

数学的帰納法の別バージョンがあれば教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/03/11 11:54

多種多様なバージョンがありますが

大学入試程度なら本質的には一種類しかありません．

以下，厳密性は考えず，雰囲気だけ書きます．

基本は
・集合Xの最初の要素「A」に対して命題P(A)が成り立つ
・集合Xの要素「B」に対してP(B)が成り立つときに，
　Bの「次」の要素「C」に対してP(C)が成り立つ

という流れです．
したがって，重要なのは集合Xに
「ある要素の次の要素」というものがあることです．
順序とはちょっと違うもので，「次の要素が存在する」というのは
「順番がある」よりも「強い条件」です．
＃「次」があれば「順序」は定められますが，
＃「順序」があっても「次」は決められません．
＃例えば，実数がその例です（順序があっても次はない）．

Xとして自然数全体の集合を考えた場合，
「次」というのは「+1」したものとすれば
普通の帰納法です．
ところが，実は「次」というのを「+2」とかにしても
いいんです．最初の要素も「1」にする必要はありません．
例えば，「すべての偶数」に対する問題を帰納法で
処理しようとすれば，
始めの要素を「2」として，次の要素は「+2」したものと
すればよいわけです．
こういうのも本質は同じですが，
一種のバージョン違いでしょう．
＃同様に「奇数」「三の倍数」とかもできるわけです．

もうすこし一般化すれば
「次」の要素ではなく，「順序」を使って
こういうふうにするバージョンもあります

・集合Xの最初の要素「A」に対して命題P(A)が成り立つ
・集合Xの要素「B」に対して，
　Bよりも小さい（つまり前の順序の）すべての要素「D」に対して
　P(D)が成り立つときに，
　P(B)が成り立つ

集合Xに順序が定まって更に「最小」というものがあれば
OKの数学的帰納法です．
＃これは「超限帰納法」と呼ばれるタイプです．
これも自然数を相手にして，
なおかつ順序を普通のものにすれば
普通の帰納法になります．

最初の一個が大学入試の範囲ででてくるものです．
二つ目のはまれに入試にもでてきますが，自然数以外のものを
対象にするのは，大学の数学科に入ってからでしょうね．
＃集合論とか位相空間論の授業で出てくるはず．

これ以外にもまだまだ種類があるとのことで，
数学基礎論では，帰納法の種類を変えることで
いろいろな範囲の数学を作って，
そこで何ができるかというような議論があるそうです．

この回答へのお礼

勉強になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2007/06/04 00:37

No.5 回答者： mmk2000 回答日時： 2007/03/11 15:03

無限降下法などはいかがでしょう？

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/11 07:20

　

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6% …
>数学的帰納法
に「バリエーション」例が見えます。

No.2 回答者： zett45 回答日時： 2007/03/11 01:42

背理法を用いて、

i)n=0が真である
ii)n=k が偽なら n=k+1 も偽。

より、n=kが偽であるkは存在せず、n（∈Ｎ）についてすべて真である。

といったようなのはあるようです。自信がないですし、質問者様の希望にあった回答になっているかは分かりませんが、一応こんなのもあるよ、とは紹介します。

No.1 回答者： justinrock 回答日時： 2007/03/11 00:57

無いと思います。