ニュートン環についての質問です

以下の問題がよく分かりませんでした。
一時間ほどいろいろ考えてみたのですがどうしても解けません。
どなたか分かる方、教えていただけないでしょうか？
「ニュートン環の実験を波長589nmの光で行ったところ一つの環の直径が6mmでそれから外側に数えて10番目の環の直径が7.8mmであった。
球面の曲率半径を求めよ。」

どうかよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Umada 回答日時： 2002/06/09 15:57

ニュートンリングで干渉縞が生じる原因についてはすでにご存じかと思いますが、復習も兼ねて図にしておきますと、下のように球面のレンズを通過する光がレンズを通過したあと下の平面で反射し、それがレンズの下面で干渉して強めあうなら明るい環、打ち消し合うなら暗い環になるということです。

中心
↑
O　　　　　　　　　　　　　　　　A
｜□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
｜□□□□レンズ□□□□□□□□□□
｜□□□□□□□□□□□□□　　↑↓
｜□□□□□□□□　　　　　　　↑↓距離d(片道)
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_U_＿＿＿＿


注意しなくてはならないのはレンズ裏面では自由端反射であるのに対し、平板での反射は固定端反射で位相がπずれるということです。よって干渉条件は
明輪: 2d=(k+1/2)λ
暗輪: 2d=kλ
と表されます。ここにλはその媒体中での波長、kは非負整数です。

次なる問題はdと、リングの半径r(図のOA間の距離)と、レンズの曲率半径Rとの関係を求めることです。
やり方はいくつかありますが、簡単には三平方の定理でできます。
いま三平方の定理から
(R-d)^2+r^2=R^2
が成立します。両辺をR^2で割って、さらに整理すると
1-2(d/R)+(d/R)^2+(r/R)^2=1
を得ます。
ここにd≪Rであるので、(d/R)の2次の項を無視する近似を行い
1-2(d/R)+(r/R)^2≒1
rについて解くと
r＝√(2Rd)
を得ます。これがリングの半径、レンズの曲率、レンズと平板の隙間の関係を表す式です。

さてとりあえず明輪を仮定して今回の問題を解いてみます。
あるリング(*1)の半径が6[mm]とのことですので、
2d=(k+1/2)λ
2d=r^2/R
の二つの関係式から、
(k+1/2)λ=r^2/R
を得ます。ただしkの具体的な値はまだ分かりません。(この明輪が何番目であるか問題で与えられていないので)
次に、ここから数えて10番目の輪については同様に
((k+10)+1/2)λ=r'^2/R
の関係が成り立ちます。ここで10番目の輪の半径はr'で表しました。未知数がRとkの二つで式が二つありますから解けます。
題意の数字を代入すると
(k+1/2)×589×10^(-9)={6×10^(-3)}^2÷R
(k+10+1/2)×589×10^(-9)={7.8×10^(-3)}^2÷R
となります。上の式から下の式を引けばkが容易に消去されて(*2)
5890×10^(-9)＝24.84×10^(-6)÷R
よって
R=4.22 [m]
と求められます。

計算ミスをしているかも知れませんので、念のためhiro2002さんご自身で式をチェックしながら読んで頂ければ幸いです。
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*1　この問題では明輪を仮定して解きましたが、干渉条件の式の1/2が(*2)のところで打ち消し合って消えます。暗輪でも結局同じ式になって同じように解けることはすぐ分かると思います。

この回答へのお礼

とても丁寧に教えてくださってどうもありがとうございます。
ご説明をじっくり読んでからやってみたらきちんと解けました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2002/06/09 19:36

No.5 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/09 16:49

Umadaさん, いつも質問者に対しわかりやすくじっくり説明なさる姿勢にこの場を借りて敬意を表します.

筆者も実は回答したり締め切られたりした後で「しまった!」というのは人様よりもありまして, 足りない点は皆様よりご教示いただいけると大変ありがたく思います.
今後ともこちらこそよろしくお願いいたします.

No.4 回答者： Umada 回答日時： 2002/06/09 16:37

oshiete_gooさん、改めまして初めまして。

先般の「垂心/重心」もそうでしたが、どうもそそっかしくてお恥ずかしいです。4[m]ではちょっと大きいかな、とも思ったのですがとんでもないところで勘違いをしていたようです。
ご指摘ありがとうございました。今後ともよろしくお願いします。

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/09 16:26

補足です

Umadaさんは既にお気づきとは思いましたが, 質問者に対して念のため.

原題どおり「直径が」6mmと7.8mmとすると
＞(k+1/2)×589×10^(-9)={6×10^(-3)}^2÷R
＞(k+10+1/2)×589×10^(-9)={7.8×10^(-3)}^2÷R

の右辺は, {3×10^(-3)}^2÷R と{3.9×10^(-3)}^2÷R
で，以下ちょうど4倍ずれて

＞5890×10^(-9)＝24.84×10^(-6)÷R
＞よって
＞R=4.22 [m]
＞と求められます。

は 6.21×10^(-6)÷R
で, R=1.0543... より R=1.05 [m]
と思われます．皆様，誤りがあればご訂正下さい．

No.1 回答者： uhyohyohyo 回答日時： 2002/06/09 15:25

曲率半径R、波長λの反射光によってできる干渉縞の半径rは明るいところで

r=((m+1/2)λR)^(1/2)
で、mは0又は正整数なので、mとRを未知数にして数を代入してやれば連立方程式が出来上がりますよね。これを解けばRが出てくると思いますよ。