ニュートンリングについてです。

締切済

質問者：hiroki135
質問日時：2007/12/12 19:01
回答数：1件

レポートの課題で、縦軸にｎ次の暗環の直径の二乗、横軸にｎをとり、グラフの傾きおよび切片値からそれぞれの物理的意味を考察せよという問題が出されました。特に切片値の物理的意味が理解できず困っています。分かる方はぜひ教えてください。宜しくお願いします。

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「グラフレポート」に関するQ&A：【Access】レポートにグラフを作りたい

回答 (1件)

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No.1

回答者： zettsei
回答日時：2007/12/13 11:27

参考URLでは、暗環の直径は２ｒという値になるはずです。

この二条は４ｒ^２で、参考URLの式を変形すると
4r^2≒Rz/2
になるはずです。zは光路差ですから、暗環の直径の二乗は弱めあうときの光路差に比例し、質問者さんのグラフは傾きが波長に対応していることになります。

また、切片は明環の時は０になるのですが、暗環は光路差が波長の半分だけ多いときに出現するので、切片は原点から波長半分だけずれることになります。

参考URL：http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~masako/exp/newton …

- 2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。だいぶ理解が深まりました。
これでレポートも大丈夫そうです。

それと回答に関してなんですが、Rz/2→8Rz、
明環と暗環は逆でいいんですよね？間違ってたら教えてください。

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お礼日時：2007/12/15 01:53

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傾き = r^2/m = 波長・曲率半径

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中心
↑
O　　　　　　　　　　　　　　　　A
｜□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
｜□□□□レンズ□□□□□□□□□□
｜□□□□□□□□□□□□□　　↑↓
｜□□□□□□□□　　　　　　　↑↓距離d(片道)
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_U_＿＿＿＿

注意しなくてはならないのはレンズ裏面では自由端反射であるのに対し、平板での反射は固定端反射で位相がπずれるということです。よって干渉条件は
明輪: 2d=(k+1/2)λ
暗輪: 2d=kλ
と表されます。ここにλはその媒体中での波長、kは非負整数です。

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いま三平方の定理から
(R-d)^2+r^2=R^2
が成立します。両辺をR^2で割って、さらに整理すると
1-2(d/R)+(d/R)^2+(r/R)^2=1
を得ます。
ここにd≪Rであるので、(d/R)の2次の項を無視する近似を行い
1-2(d/R)+(r/R)^2≒1
rについて解くと
r＝√(2Rd)
を得ます。これがリングの半径、レンズの曲率、レンズと平板の隙間の関係を表す式です。

さてとりあえず明輪を仮定して今回の問題を解いてみます。
あるリング(*1)の半径が6[mm]とのことですので、
2d=(k+1/2)λ
2d=r^2/R
の二つの関係式から、
(k+1/2)λ=r^2/R
を得ます。ただしkの具体的な値はまだ分かりません。(この明輪が何番目であるか問題で与えられていないので)
次に、ここから数えて10番目の輪については同様に
((k+10)+1/2)λ=r'^2/R
の関係が成り立ちます。ここで10番目の輪の半径はr'で表しました。未知数がRとkの二つで式が二つありますから解けます。
題意の数字を代入すると
(k+1/2)×589×10^(-9)={6×10^(-3)}^2÷R
(k+10+1/2)×589×10^(-9)={7.8×10^(-3)}^2÷R
となります。上の式から下の式を引けばkが容易に消去されて(*2)
5890×10^(-9)＝24.84×10^(-6)÷R
よって
R=4.22 [m]
と求められます。

計算ミスをしているかも知れませんので、念のためhiro2002さんご自身で式をチェックしながら読んで頂ければ幸いです。
-----
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ekisyouさん、改めまして初めまして。
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前回の回答をもう一度正しく書くと
--------
n=c/v
が屈折率の定義そのものである。真空中の光速cは不変であるからnが波長(または周波数)依存性を持つとしたら媒質中の光速vが周波数依存性を持つことになる。従ってこの式は周波数をfとして
n=c/v(f)
と表すべきものである。
二番目の式
v(f)=fλ
で、vに周波数依存性があることを考えるとfとλは厳密な反比例な関係でない。
--------
となります。大変失礼を致しました。

なお上記の式だけからでは「赤い光の方が紫の光より屈折率が小さくなる理由」は絶対に出てきません。
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(2)ですが、共振現象とのアナロジーで考えれば分かりやすいと思います。いまある物体を天井からひもで釣るし、それにさらに紐を付けて手で揺らすこととします。(A)ごくゆっくり揺らす場合は手にはほとんど力はかけなくて済みます。(B )ところが揺らす周期を短くするとだんだんと力が要るようになります。(C)さらに周期を短くして共振周波数に達すると急に力は要らなくなります。(D)そしてさらに揺らす周期を短くしようとすると、あたかもその錘に引張られるような感覚を受けます。(E)そしてさらにずっと周期を短くすると、錘はまったく動かずに錘と手を結んでいる紐だけが振動するようになります。
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こんな説明でよろしいでしょうか。

参考となりそうなページ：

「光の分散と光学定数の測定」
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/hikari/section2.htm
同、講義ノート(pdfでダウンロード)
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/kouginote/opt2k.html

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物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さいほど時間がかかります。逆に水槽が大きくても蛇口も大きければ水は短時間で出て行きますし、蛇口が小さくても水槽が小さければこれまたすぐに水槽はからっぽになります。
すなわち水がからっぽになるまでに要する時間の目安として
　水槽の大きさ×蛇口の小ささ
という数字が必然的に出てきます。ご質問の電気回路の場合は
　コンデンサの容量→水槽の大きさ
　抵抗→蛇口の小ささ
に相当するわけで、CとRの積がその系の応答の時間的な目安を与えることはなんとなくお分かり頂けると思います。

数式を使いながらもう少し厳密に考えてみましょう。以下のようにコンデンサCと抵抗Rとからなる回路で入力電圧と出力電圧の関係を調べます。
　+　C 　-
○─┨┠─┬──●
↑　　　　＜　　↑
入　　　　＜R 　出
力　　　　＜　　力
○────┴──●

入力電圧をV_i、出力電圧をV_oとします。またキャパシタCに蓄積されている電荷をQとします。
するとまず
V_i = (Q/C) + V_o　　　(1)
の関係があります。
また電荷Qの時間的変化が電流ですから、抵抗Rの両端の電位差を考えて
(dQ/dt)・R = V_o　　　(2)
も成立します。
(1)(2)を組み合わせると
V_i = (Q/C) + (dQ/dt)・R　　　(3)
の微分方程式を得ます。

最も簡単な初期条件として、時刻t＜0でV_i = 0、時刻t≧0でV_i = V(定数)となるステップ応答を考えます。コンデンサCは最初は帯電していないとします。
この場合(3)の微分方程式は容易に解かれて
V_o = A exp (-t/CR)　　　(4)
を得ます。exp(x)はご存じかと思いますがe^xのこと、Aは定数です。解き方が必要なら最後に付けておきましたので参考にして下さい。
Cは最初は電荷を蓄積していないのですから、時刻t=0において
V_i = V = V_o　　　(5)
という初期条件が課され、定数Aは実はVに等しいことが分かります。これより結局、
V_o = V exp (-t/CR)　　　(6)
となります。
時間tの分母にCRが入っているわけで、それが時間的尺度となることはお分かり頂けると思います。物理量として時間の次元を持つことも自明でしょう。CとRの積が時間の次元を持ってしまうのは確かに不思議ではありますが。
(6)をグラフにすると下記の通りです。時刻t=CRで、V_oはV/e ≒0.368....Vになります。

V_o
↑
*　←初期値　V　　　　　　　　
│*
│　*
│　　　*　　　　　　　　　最後は0に漸近する
│　　　　　　*　　　　　　　↓
└───┼──────*───*───*───*─→t
t=0　　t=CR
　　　(初期値の1/e≒0.368...倍になったタイミング)

【(1)(2)の解き方】
(1)の両辺を時間tで微分する。V_iは一定(定数V)としたので
0 = (1/C)(dQ/dt) + (dV_o/dt)
(2)を代入して
0 = (1/CR) V_o + (dV_o/dt)
-(1/CR) V_o = (dV_o/dt)
- dt = dV_o (CR/V_o)
t = -CR ln|V_o| + A
ここにlnは自然対数、Aは定数である。
この式は新たな定数A'を用いて
V_o = A' exp (-t/CR)
と表せる。