定義域と値域について

x^2+y^2=1
この場合
ｘの範囲は[-1,1]
yの範囲は[-1,1]
となると思うのですが、
x^2+y^2=1のような陰関数のときにも
ｘのとり得る範囲、つまり[-1,1]を“定義域”
ｙのとり得る範囲、つまり[-1,1]を“値域”
と呼ぶことは可能なのでしょうか？

それとも、“定義域”“値域”という言葉は
y=f(x)のような、“ｘが決まればｙが唯一つだけ決まる”
場合にしか使えないのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2007/04/03 09:54

#3さん：

＞普通、関数といえば、一価関数を考えます。
＞値域を複数に分けることによって（関数とし・・・後略）
＞高校でも、一価関数のみを考えればよいのです

#2さん：
＞中学校の＜ｘの変域、ｙの変域＞方が余程わかり良いです
＞教科書の＜説明のための用語＞ぐらいにしか思えません

　実情はこうだろうなと思います。結論から言うと、正式な関数以外でも「定義域」「値域」は使えるようです。集合論の本を開いてみると、じつは#2さんに近いような気がします。やたらと即物的ですが、ＸとＹを集合とし・・・、

　(1) x∈Ｘ，y∈Ｙとします．
　(2) 対(x，y)の集合Ｇを考えます．一般にはＧ⊂Ｘ×Ｙです．
　(3) 三重対Γ＝(Ｇ，Ｘ，Ｙ)の事を、グラフＧによって定義されるＸからＹへの対応と呼びます．
　　（一般には線でなく、帯のようなグラフになります）．
　(4) 上記ΓのＸを、対応Γの始域，Ｙを対応Γの終域と言うそうです．
　(5) Ｇ⊂Ｘ×Ｙなので、全てのx∈Ｘが対応に与かる訳ではありません．
　(6) そこで、対応Γに関係するＡ⊂Ｘを取り出して、特に定義域と呼びます．
　(7) 同様に、対応Γに関係するＢ⊂Ｙを取り出して、特に値域と呼びます．
　(8) 関数（写像）とは、x∈Ｘに対してy∈Ｙが唯一つ定まる対応で、しかもＡ＝Ｘである場合です（グラフは線になる）．

　この定義の後、関数の延長だの縮小だの、ＢからＹへの移行によって得られる写像などが定義されます。これらは、定義域や値域を適宜自由に拡げたり、狭めたりするために考え出された用語で、立場としては#2さんに近いように思えます。
　また(8)から言うと、多価関数は一種の用語の流用ですが、現実的には「知ったことか！」です。

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/04/02 20:50

一価関数だけでなく、y=±√(1-x^2)のような多価関数についても、“定義域”“値域”という言葉を使います。

ここで、注意すべきことは、関数の“定義域”“値域”という言葉は、“定義域”という集合に“値域”という集合が対応することを意味し、その逆ではないことです。

しかし、普通、関数といえば、一価関数を考えます。複素関数論などでは多価関数は、値域を複数に分けることによって、"枝"としたり、定義域を拡張（リーマン面）するなどして、一価関数に直してから、取り扱う習慣があります。当然、高校でも、多価関数を考える必要はありません。一価関数のみを考えればよいのです。

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/02 15:32

こんにちは、

当方もこの件に関しては、かねがね疑問というよりは、＜不満＞を感じています。
　どうしても＜“定義域”“値域”＞は必要な言葉なのでしょうか？　余程の理由でもあるのでしょうか？　貴殿がご指摘ののように、＜ＩＭＰＬＩＣＩＴ・ＦＵＮＣＴＩＯＮ/陰伏函数/陰関数・・・これダジャレですよね）では無意味な用語です。ＥＸＰＬＩＣＩＴ・ＦＵＮＣＴＩＯＮでも無意味と感じます。
　中学校では＜ｘの変域、ｙの変域＞となっていて、この方が余程わかり良いです。教科書の＜説明のための用語＞ぐらいにしか思えません。＃１様の張られたＷＩＫＩさんに行って見ましたが、特に重要な事はかいてありませんでした。
　このあと、薀蓄の深い方の登場を貴殿と共に待ちたいと思います。

　確かに、＜Ｘ＝３では定義されていない等＞は納得しますが、これが直接＜“定義域”“値域”＞に結びつく分けではありませんし。
　逆に、この言葉によって混乱する生徒が出てきます。
ＳＥＥ　ＹＯＵ

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/04/02 13:44

>“定義域”“値域”という言葉は

>y=f(x)のような、“ｘが決まればｙが唯一つだけ決まる”
>場合にしか使えないのでしょうか？

まったく気にせずにおりました。
「関数」は、y=f(x)“ｘが決まればｙが唯一つだけ決まる”とするのが常識なのですね。

　http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/Lecture5.pdf
>(p.7/15)
通常，関数は１価関数(１対１対応の関数，つまり，逆関数の逆関数は元の関数に戻る関数)を扱うの
で，逆関数を定義するときには，どの分岐にするか選んで定義しなくてはならない．

　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_ …
>5 陽表式と陰伏式
関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は（定義域や値域でより分けることにより）複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の枝という。

勉強になりました。