ラグランジュの未定乗数法について

ラグランジュの未定乗数法について
その概要と具体的な計算例を教えてください。

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/01/16 19:04

stomachman さんが一般論を書かれていますので，

めちゃくちゃ易しい例題を蛇足につけましょう．

例題
x + y = a　　　　　　　　　　(1)
の条件の下で
f(x,y) = (x^2 + y^2)/2　　　 (2)
の極値を求めよ．

(1)から y = a - x として(2)に代入すれば，
x の２次関数ですから x = a/2 で極値をとるのはただちにわかります．

ラグランジュ未定係数法でやるなら，stomachman さんの式にしたがって，
f の代わりに
g(x,y,λ) = (x^2 + y^2)/2 + λ(x+y-a)
を考えます．λと掛け算になっている x + y - a が(1)の変形です．
(1)から，λ(x+y-a) = 0 ですから，f の極値も g の極値も同じことです．
２変数関数の極値だと言うんだから， 偏微分して
∂g/∂x = x + λ = 0　　　　(3)
∂g/∂y = y + λ = 0　　　　(4)
で，(1)(3)(4)を連立方程式として解けば，
簡単に x = y = a/2 が得られます．
直接解いたのと同じ結果ですね．

え？ 直接解く方が簡単？
そりゃ，(1)から簡単に変数１個消去できたからで，
(1)が面倒な式だったり，変数が沢山，条件式も沢山，だったら
簡単には行きませんよ．

もっと深刻なのは，原理的に消去困難な場合もあることです．
stomachman さんが書かれているように，等周問題が有名な例です．
xy 平面上の閉曲線 f(x,y) = 0 があって，
条件として１周の長さを指定する．
囲む面積が最大になるのはどんな f(x,y) か？
答が円なのは直感的にわかりますが，
ちゃんと示すのはそれなりに大変です．
どんな関数か，と聞いているんだから，変分法の問題です．
細かいことは別にして，囲む面積なんだから
【f(x,y) から面積を求める積分】　　　　　　(5)
を一番小さくなるようにする．
条件は
【f(x,y) から周長を求める積分】＝ 一定 　　(6)
ですね．
(6)から，何か「消去」できますか？
f(x,y) はわかっていない(これから求めようとしている)のですから，
(6)の積分だってわかりません．
つまり，お手上げ．

こういうときがラグランジュ未定係数法の出番です．

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/16 17:10

条件付きで極値を求める問題（極値問題）、

すなわち、n個の変数に関するm個の条件式C：
C[j](x[1],x[2],....,x[n])=0 (j=1,2,...,m)
という条件下で(m<n)、目的関数f(x[1],x[2],....,x[n])の極値（極大か極小）を求める問題を解くには、
λ[j]を(j=1,2,...,m)任意の定数（ラグランジュ未定係数・ラグランジュ未定乗数）とし、
F(x[1],x[2],....,x[n]) = f(x[1],x[2],....,x[n]) + λ[1]C[1]+ ....+ λ[m]C[m]
とするとき、
∂F/∂x[i] = 0 (i=1,2,...,n)かつC[j]=0(j=1,2,...,m)
という連立方程式を解けばよい。

というやり方。変分法でしばしば使いますので、計算例は変分法の教科書を見ると良いです。特に有名なのは等周問題でしょう。

この問題を普通に考えると、
　m個の変数x[m+1], .....,x[n]は条件式によって決まってしまうから、fは実質的にはn-m個の変数を持つ関数
f#(x[1],x[2],....,x[n-m])f(x[1],x[2],....,x[n-m], y[1],......y[m])
と考えることが出来ます。ここで、y[k]はCの条件を解いたもの。すなわち、x[1],x[2],....,x[n-m]を決めたときに上記の条件を満たすようなx[n-m+k]を与える関数： y[k] (x[1],x[2],....,x[n-m]) = x[n-m+k] であると考える訳です。
　そしてf#が極値を取るx[j](j=1,2,....,n-m)を求めればよい。つまり
∂f#/∂x[j]=0 (j=1,2,....,n-m)
ところが、具体的にy[k](k=1,2,....,m)を求めることができない（或いは難しい。もの凄く複雑だ）。あーこまった。煮詰まっちゃった。ということになりますね。

つまり、y[k]を陽に求めなくても、陰関数のまま扱えるのが利点です。