ラグランジュの未定乗数法について
その概要と具体的な計算例を教えてください。

A 回答 (2件)

stomachman さんが一般論を書かれていますので,


めちゃくちゃ易しい例題を蛇足につけましょう.

例題
x + y = a          (1)
の条件の下で
f(x,y) = (x^2 + y^2)/2    (2)
の極値を求めよ.

(1)から y = a - x として(2)に代入すれば,
x の2次関数ですから x = a/2 で極値をとるのはただちにわかります.

ラグランジュ未定係数法でやるなら,stomachman さんの式にしたがって,
f の代わりに
g(x,y,λ) = (x^2 + y^2)/2 + λ(x+y-a)
を考えます.λと掛け算になっている x + y - a が(1)の変形です.
(1)から,λ(x+y-a) = 0 ですから,f の極値も g の極値も同じことです.
2変数関数の極値だと言うんだから, 偏微分して
∂g/∂x = x + λ = 0    (3)
∂g/∂y = y + λ = 0    (4)
で,(1)(3)(4)を連立方程式として解けば,
簡単に x = y = a/2 が得られます.
直接解いたのと同じ結果ですね.

え? 直接解く方が簡単?
そりゃ,(1)から簡単に変数1個消去できたからで,
(1)が面倒な式だったり,変数が沢山,条件式も沢山,だったら
簡単には行きませんよ.

もっと深刻なのは,原理的に消去困難な場合もあることです.
stomachman さんが書かれているように,等周問題が有名な例です.
xy 平面上の閉曲線 f(x,y) = 0 があって,
条件として1周の長さを指定する.
囲む面積が最大になるのはどんな f(x,y) か?
答が円なのは直感的にわかりますが,
ちゃんと示すのはそれなりに大変です.
どんな関数か,と聞いているんだから,変分法の問題です.
細かいことは別にして,囲む面積なんだから
【f(x,y) から面積を求める積分】      (5)
を一番小さくなるようにする.
条件は
【f(x,y) から周長を求める積分】= 一定   (6)
ですね.
(6)から,何か「消去」できますか?
f(x,y) はわかっていない(これから求めようとしている)のですから,
(6)の積分だってわかりません.
つまり,お手上げ.

こういうときがラグランジュ未定係数法の出番です.
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条件付きで極値を求める問題(極値問題)、


すなわち、n個の変数に関するm個の条件式C:
C[j](x[1],x[2],....,x[n])=0 (j=1,2,...,m)
という条件下で(m<n)、目的関数f(x[1],x[2],....,x[n])の極値(極大か極小)を求める問題を解くには、
λ[j]を(j=1,2,...,m)任意の定数(ラグランジュ未定係数・ラグランジュ未定乗数)とし、
F(x[1],x[2],....,x[n]) = f(x[1],x[2],....,x[n]) + λ[1]C[1]+ ....+ λ[m]C[m]
とするとき、
∂F/∂x[i] = 0 (i=1,2,...,n)かつC[j]=0(j=1,2,...,m)
という連立方程式を解けばよい。

というやり方。変分法でしばしば使いますので、計算例は変分法の教科書を見ると良いです。特に有名なのは等周問題でしょう。

この問題を普通に考えると、
 m個の変数x[m+1], .....,x[n]は条件式によって決まってしまうから、fは実質的にはn-m個の変数を持つ関数
f#(x[1],x[2],....,x[n-m])f(x[1],x[2],....,x[n-m], y[1],......y[m])
と考えることが出来ます。ここで、y[k]はCの条件を解いたもの。すなわち、x[1],x[2],....,x[n-m]を決めたときに上記の条件を満たすようなx[n-m+k]を与える関数: y[k] (x[1],x[2],....,x[n-m]) = x[n-m+k] であると考える訳です。
 そしてf#が極値を取るx[j](j=1,2,....,n-m)を求めればよい。つまり
∂f#/∂x[j]=0 (j=1,2,....,n-m)
ところが、具体的にy[k](k=1,2,....,m)を求めることができない(或いは難しい。もの凄く複雑だ)。あーこまった。煮詰まっちゃった。ということになりますね。

つまり、y[k]を陽に求めなくても、陰関数のまま扱えるのが利点です。
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Qラグランジュ未定乗数法の問を教えてください。

f(x、y)=x^3+y^3
条件x^2+y^2=1
として、最大値最小値を求めよ。
 F(x,y,λ)=x^3+y^3+λ(x^2+y^2‐1)とする
 Fx=3x^2+2xλ
 Fy=3y^2+2yλ
 Fλ=x^2+y^2‐1 (※Fλはλ微分のこと)
として、λをこれ以降どのように変形し、求めればよいか分りません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No2,No3です。

御免!
ANo3に図を添付するのを忘れました。
改めて添付します。

Qラグランジュの未定乗数法

いつも有り難く利用させていただいております。

今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm
のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している)

制約条件をG( x , y , z )=0 、( a , b , c )で、極致を求めたい関数をF(x , y , z )としておくと、

 このとき、G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F は

x , y の関数になるので、( a , b , c )において、

      F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0

が成り立つ。

 ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。

      G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0

そこで、( a , b , c )における -F_z/G_z の値を、λ とおくと、 F_z+λG_z=0 が成り立ち、

さらに、F_x+λG_x=0 、 F_y+λG_y=0 が成り立つ。

 したがって、4つの式 G=0 、F_x+λG_x=0 、F_y+λG_y=0 、F_z+λG_z=0 を解くことにより、極値を与える候補の点( a , b , c )が求められる。




と、記載されているのですが、
G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F はx , y の関数になるので、( a , b , c )において、
      F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0
が成り立つ。
 ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。
      G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0

の部分の、
F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0
と、
G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0
の式はどのようにして出てきているのでしょうか?

いつも有り難く利用させていただいております。

今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm
のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している)

制約条件をG( x , y , z )=0 、( a , b , c )で、極致を求めたい関数をF(x , y , z )としておくと、

 このとき、G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとす...続きを読む

Aベストアンサー

そのサイトのノーテーションでは添え字が偏微分を意味しているようなので z_x = ∂z/∂x。

zをx,yの関数z=z(x,y)とするとF(x,y,z) = F( x, y, z(x,y) )なのでFをx,yの二変数関数F(x,y)として偏微分すると

(∂F(x,y)/∂x)_y = (∂F(x,y,z)/∂x)_yz + (∂F(x,y,z)/∂z)_xy・(∂z/∂x)_y = 0

このサイトのノーテーションに従って

∂F/∂x → F_x, ∂F/∂z → F_z, ∂z/∂x → z_x

と書き換えれば質問の式になります。

Qラグランジュの未定乗数法

x^2+y^2=1のときにx^3-x+y^2の最大、最小値を求めよという問題です。
ラグランジュの未定乗数法を用いて解こうとしているのですが、λ,x,yについて解が定めきれずに困っています。
つまり、x^2+y^2-1=0
3x^2-1-2λx=0
2y-2λy=0
の3式を解こうとしているのですが、うまくいきません。
ご指南宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

単に連立方程式を解けば良いだけではないですか?
3番目の式から
y=0またはλ=1が出てきますので
それぞれの場合について残りの変数を求めればいいでしょう。

y=0の時
x=±1,λ=±1(複合同順)

λ=1の時
3x^2-1-2x=(3x+1)(x-1)=0
x=1,-1/3
x=1の時y=0
x=-1/3の時y=±2√2/3

以上から連立方程式の解は
(x,y,λ)=(1,0,1),(-1,0,-1),(-1/3,2√2/3,1),(-1/3,-2√2/3,1)
と4通りの解がでます。
それぞれについての極値は
f(1,0)=0
f(-1,0)=0
f(-1/3,2√2/3)=32/27
f(-1/3,-2√2/3)=32/27
なので
0<=f(x,y)<=32/27
x=±1,y=0の時最小値0
x=-1/3,y=±2√2/3の時最大値32/27

Qラグランジュの未定乗数法を用いた最大、最小値問題について質問です

問: x^2-x*y+y^2 = 1 という制約条件の下で x*y+x+y が最大と最小をとることを示し、
Lagrangeの未定乗数法によってそれらの値を求めよ


答:最大値は (x,y) = (1,1) のとき 3

最小値は (x,y) = ( (1/12)*(-9+√21), (1/12)*(-9-√21) ) のとき -13/12


f<x>-λg<x> = 0 ,f<y>-λg<y> = 0 より

(y+1)-λ(2x-y) = 0 ,(x+1)-λ(-x+2y) = 0

∴λ=(y+1)/(2x-y) = (x+1)/(-x+2y)

∴(y+1)(-x+2y) = (x+1)(2x-y)

∴2x^2-2y^2+3x-3y = 0

∴(x-y)(2(x+y)+3) = 0

∴x = y or 2(x+y)+3 = 0

これらを g = 0 に代入して

x^2 = 1 , 12x^2+18x+5 = 0



として最大と最小をとる点の候補を求めてから値を求めたのですが、
てっとりばやく最大値、最小値だけを求めるにはどうすればいいのでしょうか?
よろしくおねがいします。

問: x^2-x*y+y^2 = 1 という制約条件の下で x*y+x+y が最大と最小をとることを示し、
Lagrangeの未定乗数法によってそれらの値を求めよ


答:最大値は (x,y) = (1,1) のとき 3

最小値は (x,y) = ( (1/12)*(-9+√21), (1/12)*(-9-√21) ) のとき -13/12


f<x>-λg<x> = 0 ,f<y>-λg<y> = 0 より

(y+1)-λ(2x-y) = 0 ,(x+1)-λ(-x+2y) = 0

∴λ=(y+1)/(2x-y) = (x+1)/(-x+2y)

∴(y+1)(-x+2y) = (x+1)(2x-y)

∴2x^2-2y^2+3x-3y = 0

∴(x-y)(2(x+y)+3) = 0

∴x = y or 2(x+y)+3 = 0

...続きを読む

Aベストアンサー

>とやってたりするので、同じようにできないものかとおもいまして、、、

出来ないんじゃないか?

以下は高校数学。。。。。。w

x+y=a、x-y=bとすると、2x=a+b、2y=a-b であるから、x^2+x*y+y^2=(3a^2+b^2)/4=1 であるから、3a^2+b^2=4.‥‥(1)
k= x^2-y^2 =ab より、判別式を使っても良いが、(1)から a=(2/√3)cosθ、b=2sinθと置けるから、k= x^2-y^2 =ab=(4/√3)cosθ*sinθ=(2/√3)*sin2θ。
|sin2θ|≦1より、|k|≦2/√3。 等号成立の時の、(x、y)の値は自分で求めて。

Qラグランジュの未定乗数法を利用する3次元の極値問題

下の問題の解き方を教えてください
よろしくお願いします


半径Rの球面上の2点A,Bを両端とする曲面のうち長さが最短となるものを求めよ
ただし、計算は直交座標(デカルト座標)を用い、
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を束縛条件としてラグランジュの未定乗数法を利用すること

Aベストアンサー

http://www2.kaiyodai.ac.jp/~takenawa/optimization/resume10-4.pdf


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