ベクトルで角の二等分線

ふたつのベクトル　→aと→bがあって
このベクトルの角の２等分線が単位ベクトルを使って
→OP＝t（→a＋→b）
　　　　――　――
　　　　|→a｜|→b｜　　と表されるらしいんですがなぜですか？
二等分させちゃうのがわけわかりません

No.1 ベストアンサー 回答者： hermite 回答日時： 2007/04/27 22:04

ベクトルaの単位ベクトルと、ベクトルbの単位ベクトルを足し算すると、図を描いてもらえれば分かると思いますが、１辺の長さが1であるひし形を描くことになると思います。

ひし形を対角線で半分にすると二等辺三角形になります。ひし形の２つの対角線は直交しているので、その対角線は二等辺三角形の中線であることがわかります。したがって、それは二等辺三角形の角の二等分線であることがわかり、ベクトルaの単位ベクトルとベクトルbの単位ベクトルの和は、ベクトルaとベクトルbのなす角を二等分する直線であるといえます。tは、ベクトルOPの長さを表します。

ちなみに、単位ベクトルとは、単位長さのベクトルのことなので、→a/|→a|となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
自分で図を書いてみたところ納得しました。

お礼日時：2007/04/29 08:08

No.3 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/04/28 03:22

任意のベクトルa,bにおいて、

a/|a| , b/|b|は,
|a/|a|| = |a|/|a| = 1 , |b/|b|| = |b|/|b| = 1より、大きさが
１のベクトル、すなわち単位ベクトルを表しています。
a/|a|の終点をＡ、b/|b|の終点をＢ、a/|a| + b/|b|の終点をＣとし、
それぞれの始点をＯとすると、
平行四辺形ＯＡＢＣの２つの対角線を表すベクトルをそれぞれ、ＯＣ、ＡＢ
とすると、

ＯＣ＝　ＯＡ＋ＯＢ＝　a/|a| + b/|b|
ＡＢ ＝ ＯＢ－ＯＡ＝　b/|b| - a/|a|
とすると、ＯＡ・ＡＢ＝ (a/|a| + b/|b|)(b/|b| - a/|a|) = ０より
２つの対角線は直交する事が言えます。

また、ＯＡ＝ＯＢ＝１より、平行四辺形はひし形になると言え、
ひし形であれば、対角線ＯＣは∠ＡＯＢを２等分するので、
t(a/|a| + b/|b|)は２等分線を表すベクトルである事が言えます。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2007/04/29 08:15

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/28 01:07

この事項は意外に判り難いです。

多くの高校生が理解してないはずです。
当方も現役の時、納得に時間がかかりました。

幾つかの理由がありますが、

＃１　ベクトルは角度の問題では扱い難い。
＃２　式の意味が判り難い。

まず、具体的な例で理解するのが早道のようです。

以下ベクトルは矢印を付けずに表記します。
ａ、ｂはベクトルです。
表示はどうしてもズレます。画面も最大画面が見易くなります。

　　　　　 　　　　　＿
　　　　　　　　　　／ |
　　　　　　　　／
　　　　　　／　
　　　　／　ｂ　　　大きさ　４
　　／　
／￣／　　　　　　　　　　　　　
-------------------------------------→
　　　　　ａ　　大きさ　６　　　　

｜ａ｜＝６、｜ｂ｜＝４　とでも頭において読んで下さい。　　

　ａ　　　　　　ａ　
――　＝　――は方向がａと同じで大きさが１の単位ベクトルです。
｜ａ｜　　　　６

　ｂ　　　　　　ｂ
――　＝　――は方向ｂがと同じで大きさが１の単位ベクトルです。
｜ｂ｜　　　　４

　ａ　　　　　ｂ　　　　　ａ　　　　ｂ
――　＋――　＝　――＋――　は
｜ａ｜　　｜ｂ｜　　　６　　　　４　

（単位ベクトル）＋（単位ベクトル’）で

＜菱形＞の対角線を意味するベクトルとなります。

つまり、このベクトルは　ａとｂのなす角度を二等分した直線上にある事になります。
大きさは内積を使用して表せますが、本問題では不要です。

任意の実数ｔをかけると、角度の二等分線上の任意の点をあらわします。　

　　　　　ａ　　　　　ｂ　　　　　　　　ａ　　　　ｂ
ｐ＝ｔ（――　＋――　　）＝ｔ（　――＋――）　となります。
　　　　｜ａ｜　　｜ｂ｜　　　　　　６　　　　４


ＰＳ　　＜――＞はどうやって出したのでしょうか、
　　　多分、罫線素片とは思いますが、ちょと驚きました。
　　　この投稿では、貴殿の投稿をＣＯＰＹして書きました。
　　　投稿後、試してみますが機会があれば教えて下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
図まで描いていただき本当にわかりやすかったです。
ひし形、と言われてひし形の性質を少し考えてしまった
自分が危ないな、、と感じましたが
みなさんのおかげでなぞが解けました。
――　は全角のダッシュを二回連続で打つと、
表示されるときには長いダッシュに見えるみたいですよ！

お礼日時：2007/04/29 08:14