極限

sinxのx乗でx→0の時、1に収束するのが分かりません。
参考書を探しても載っていないし…テイラー展開を使うというのは分かるんですが、そこからが意味分かりません。
分かる方、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/05/21 20:37

x>0とします。

xが微小のとき、sinx≒xなので、(sinx)^x=x^xと考えられます。
したがって、x^xのx→0の極限を求めることに帰着されます。
対数をとると、logx^x=xlogx=logx/(1/x)で、x→0のとき分子も分母も
発散するので、ロピタルの定理を使って、
(1/x)/(-1/x^2)=-x→0（x→0）
よって、x^x→1（x→0）で、(sinx)^x→1（x→0）

あるいは、(sinx)^xの対数をとると、
log(sinx)^x=xlog(sinx)=xlog(sinx/x)x=xlog(sinx/x)+xlogx
x→0のとき、sinx/x→1なので、xlog(sinx/x)→0
結局、xlogx=logx^x、つまり、x^xの極限を求めることに帰着される。
上でロピタルの定理を使ったが、これを使わないとすると、x<1のと
き、両辺をx乗するとx^x<1
逆数をとると、(1/x)^x>1
よって、(1/x)^x=1+Rx（Rx>0)と置くことができる。
両辺を1/x乗して、2項展開を考えると、
1/x=(1+Rx)^(1/x)=1+(1/x)Rx+(1/2)(1/x)(1/x-1)Rx^2+…
>1+(1/2)(1/x)(1/x-1)Rx^2
（各項は正なので、この２項以外を捨てるとこの不等式が成り立つ）
1を移項して、
1/x-1>(1/2)(1/x)(1/x-1)Rx^2
両辺を1/x-1で割ると、
1>(1/2)(1/x)Rx^2
0<Rx^2<2x
0<Rx<√(2x)
√(2x)→0（x→0）だから、Rx→0（x→0）
よって、(1/x)^x=1+Rx→1（x→0）だから、x^x→1（x→0）
したがって、最初に戻って考えると、
log(sinx)^x=xlog(sinx/x)+logx^x→0+log1=0（x→0）
よって、(sinx)^x→1（x→0）

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。
確かにx<<1のとき、sinx=xですね。
x^xの極限はお決まりの対数を取ればいいので大丈夫です。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/05/21 21:39

No.1 回答者： funoe 回答日時： 2007/05/21 15:37

定義域は、x>0　ですよね。

f(x)=(sin(x))^x

g(x)=log(f)とおくと、（すなわち、e^g(x)=f(x)とおくと）
g(x)=xsin(x)　

x→+0のとき、g(x)→0　なので、e^g(x)→e^0=１
なので、f(x)→１　

というのではダメでしょうか？自信ないです。
テイラー展開を利用して示す方法はわかんないです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
誰か違う人が質問していて、教授がsinxをテイラー展開するんだよとか言ってて意味分からん式をずらずら書いていました…。

お礼日時：2007/05/21 21:41