中3数学の問題(根号)

Question

aを自然数とするとき、√2010-15aの値が自然数になるようなaの値をすべて求めなさい。

この問題の答えと解き方をわかりやすく教えてください。
お願いします。

NPAsSbBi · Accepted Answer

√(2010-15a)=Aと置きます。
問題にも書いてある通り、Aは自然数です。

両辺を2乗して、2010-15a=A^(2)
移項して、15a=2010-A^(2)
両辺を15で割って、a=(2010-A^2)/15 =134-A^(2)/15

aは自然数なので、A^(2)/15も整数でなければなりません。
すなわち、A^(2)は15の倍数でなければなりません。

また、aが最も小さい自然数である１のとき、√(2010-15a)=√1995=44.665・・・なので、
Aはどれだけ大きくても44であることが分かります。
(aがだんだん大きくなっていくと、Aはだんだん小さくなってくるので)

つまり、Aは１～４４の自然数の中で、A^(2)が15の倍数になるもの、です。
それを満たすAは、15と30の二つです。
A=15のとき、a=119
A=30のとき、a=74

よって、a=74, 119　です。

suko22 · Answer

#2です。

間違ってました（汗）。すみません。訂正します。

誤）√がとれ自然数になるには、(134-a)が15、15^3、15^5・・・になればよい。

正）√がとれ自然数になるには、(134-a)が15,15*2^2,15*3^3・・・になればよい。

ですね。

うっかりしておりました。

正しい解答は他の回答者さんを参考にしてください。

KEIS050162 · Answer

√の中身が、自然数の二乗の形になる様にａの値を求めればよいです。
自然数の二乗になる様にするということは素因数分解した時、素因数すべてがペアになっているといことです。

√（２０１０－１５ａ）　を変形して、√１５（１３４－ａ）

ここで、１５は、３×５　ですから、１３４－ａ　は　因数３と５を持たなければなりません。かつ、自然数の二乗にならなければならないので、

１３４－ａ　＝　３・５・n^2　　となる自然数で、かつ　３・５・ｎ＾２　＜　１３４　という組み合せを探します。

ｎ＝１　の時、　３・５・１＾２　＝　１５　ですから　ａ　＝　１１９
ｎ＝２　の時、　３・５・２＾２　＝　６０　ですから　ａ　＝　７４
ｎ＝３　の時、　３・５・３＾２　＝　１３５　で、　＞　１３４となるので、これは条件にあてはまりません。

よって、　ａ＝１１９，７４　です。

検算：
ａ＝１１９　　　√（２０１０－１５・１１９）　＝　√２２５　＝　１５
ａ＝７４　　　　√（２０１０－１５・７４）　　＝　√９００　＝　３０

suko22 · Answer

2つの数字をとりあえず素因数分解します。

2010=2*3*5*67
15=3*5

√(2010-15a)=√(2*3*5*67-3*5a)
           =√{3*5(2*67-a)}
           =√15(134-a)

√がとれ自然数になるには、(134-a)が15、15^3、15^5・・・になればよい。
ここでaは自然数であるので、(134-a)=15のときのみ√の値が、√15*15=15となり自然数となる。

よってa=119

√(2010-15a)=Aと置きます。